Cota superior para el primer valor propio del
problema de Steklov

ÓSCAR ANDRÉS MONTAÑO CARREÑO ^*

Universidad del Valle, Departamento de Matemáticas, Cali, Colombia.

Resumen. Sea B_r una bola n-dimensional dotada con una métrica rotacionalmente invariante y con curvaturas seccionales radiales no positivas. Si v es el primer valor propio de Steklov y h es la curvatura media sobre el borde de la bola, nosotros demostramos que v ≤ h con igualdad si y solo si B_r es la bola con la métrica usual de ℝⁿ.
Palabras claves: Curvatura seccional, curvatura media, valor propio de Steklov.
MSC2010: 35P15, 53C20, 53C42, 53C43

Upper bound for the first eigenvalue of the Steklov
problem

Abstract. Let Br be an n-dimensional ball endowed with a rotationally in- variant metric and with non-positive radial sectional curvatures. If v is the first Steklov eigenvalue and h is the mean curvature on the boundary of the ball, we prove that v ≤ h. Equality holds only when B_r is the ball endowed with the standard metric of ℝⁿ.
Keywords: Sectional curvature, mean curvature, Steklov eigenvalue.

Texto Completo disponible en PDF

Referencias

[1] Escobar J.F., "The Geometry of the first Non-Zero Stekloff Eigenvalue", J. Funct. Anal. 150 (1997), no. 2, 544-556.

[2] Escobar J.F., "A comparison theorem for the first non-zero Steklov Eigenvalue", J. Funct. Anal. 178 (2000), no. 1, 143-155.

[3] Montaño O.A., "The First Non-zero Stekloff Eigenvalue for conformal metrics on the ball", Preprint.

[4] Payne L.E., "Some isoperimetric inequalities for harmonic functions", SIAM J. Math. Anal. 1 (1970), 354-359.

[5] Stekloff M.W., "Sur les problèmes fondamentaux de la physique mathématique", Ann. Sci. École Norm. Sup. 19 (1902), 445-490.

[6] Schoen R. and Yau S.T., Lectures on Differential Geometry, International Press, 1994.

[7] Weinstock R., "Inequalities for a classical eigenvalue problem", J. Rational Mech. Anal. 3 (1954), 745-753.

^*E-mail: oscar.montano@correounivalle.edu.co.
Recibido: 16 de febrero de 2013, Aceptado: 21 de junio de 2013.