El teorema de Dirichlet sobre Fq[t]
a Universidad del Atlántico, Facultad de Ciencias Básicas, Barranquilla, Colombia.
b Universidad del Norte, Departamento de Matemáticas y Estadística, Barranquilla, Colombia.
Resumen. En este artículo se prueba la existencia de infinitos polinomios primos irreducibles unitarios sobre el cuerpo finito Fq según Pollack a través de caracteres y series-L.
Palabras clave: Caracteres, Series-L,
fórmula de la inversión de Mobius. ¨ MSC2010: 11C02, 11N32, 12E10, 12Y02.
Abstract. In this paper we prove the existence
of infinite unit irreducible prime polynomials on the finite field Fq by Pollack through of characters and L-series
Keywords: Characters, Series-L, Mobius¨ inversion
formula.
La progresión aritmética de números impares 1,3,5,...,2k + 1,..., contiene infinitos números primos. Es natural preguntar si otras progresiones aritméticas tienen esta propiedad. Una progresión aritmética con el primer término a y diferencia común m consiste de todos los números de la forma
a + mk, k = 0,1,2,... . (1)
Si a y m tienen un factor común d, cada término de la progresión es divisible por d y no puede haber más de un primo en la progresión si d > 1. En otras palabras, una condición necesaria para la existencia de infinitos números primos en la progresión aritmética (1) es que (a,m) = 1. Johann P. G. L. Dirichlet fue el primero en probar que esta condición es también suficiente. Esto es, si m > 0 y a son enteros con (a,m) = 1, entonces hay un número infinito de primos p en la progresión aritmética (1), es decir, un número infinito de primos p con p ≡ a m´od m. Este resultado es conocido como el teorema de Dirichlet.
De hecho, Dirichlet estableció que, en cierto sentido, los primos se distribuyen por igual en las progresiones. Euler probó la existencia de infinitos números primos mostrando que la serie Pp p−1, extendida sobre todos los primos, diverge [4]. La idea de Dirichlet era probar una afirmación correspondiente cuando los primos están limitados a estar en la progresión dada (1). En una memoria famosa [3], publicada en 1837 realizó esta idea por ingeniosos métodos analíticos. En 1950, Harold N. Shapiro publicó una prueba elemental del teorema de Dirichlet [7]. Esta también la puede ver en [2]. La prueba de Shapiro realmente obtiene una estimación para Pp logp p cuando (a,m) = 1, m > 0:
El análogo del teorema de Dirichlet en el caso de un anillo polinomial sobre Fq fue, primero, probado en 1919 por Heinrich Kornblum [6, Capitulo 4]. La estructura de esta demostración es en gran parte la misma como en el caso clásico, y culmina con el análogo de la ecuación
(2)
Donde se puede ver que, en cierto sentido, los primos se distribuyen por igual en las progresiones.
Nuestro propósito es mostrar que la prueba de Shapiro y su estimación pueden ser adaptadas para el caso del anillo de polinomios Fq[t] (demostración basada a la mostrada por Paul Pollack en [5]). Es decir, probar que, dado un cuerpo finito Fq y polinomios a,m ∈ Fq[t] con (a,m) = 1, m =6 0, se tiene
El argumento de Shapiro puede ser considerado ligeramente más elemental, comparado con el de Kornblum, pues las series L que se necesitan son sumas finitas.
Para ello, se estudiaron las funciones aritméticas definidas sobre el monoide M(q;t). En particular, se usaron los análogos en M(q;t) de la función de von Mangoldt y de la función de Mobius¨ conocidos en Z. Empleamos las propiedades de los caracteres de grupos abelianos finitos (caracteres de Dirichlet módulo m(t)) y sus relaciones de ortogonalidad en el estudio de la funciones L o L-funciones (llamadas series o funciones de Dirichlet) , L(s,χ), asociadas con un carácter χ módulo m(t). Se demuestra, usando un argumento bastante sencillo, uno de los pasos más difíciles de la prueba del teorema de Dirichlet: el poder establecer la no anulación de L(χ) para χ real no principal.
Fq denota a un cuerpo de característica p y cardinal q = pk, con p un número entero primo y k un número entero con k > 1. P(q;T) denota el conjunto de los primos de Fq[t], es decir, de los polinomios irreducibles unitarios. M(q;T) denota el monoide de los polinomios unitarios con coeficientes en Fq.
Proposición 2.1. El conjunto U(Fq[t]/(m(t))), con m(t) ∈ Fq[t], definido por
U(Fq[t]/(m(t))) = {aˆ ∈ Fq[t]/(m(t)) | (a,m) = 1}
es un grupo multiplicativo de orden ϕ(m(t)), donde ϕ es la función de Euler para los polinomios. En particular, si m(t) es un polinomio primo de grado k, entonces U(Fq[t]/(m(t))) = (Fq[t]/(m(t)))∗, los elementos no nulos de Fq[t]/(m(t)), es un grupo multiplicativo de orden ϕ(m(t)) = qk − 1.
Teorema 2.2 (Análogo del teorema de Euler). Si (a,m) = 1 con m(t) ∈ M(q;t), entonces
a(t)ϕ(m(t)) ≡ 1 m´od m(t).
Véase la prueba en [1, Lección II, Sección 4] o en [6, Capítulo I].
Una consecuencia del teorema anterior es el siguiente:
Corolario 2.3 (Análogo del teorema pequeño de Fermat). Si p(t) ∈ P(q;t) tiene grado d y p(t) ∤ a(t), entonces a(t)qd−1 ≡ 1 m´od p(t).
Definición 2.4. Una función con valor complejo definida en el monoide M(q;t) se llama una función aritmética. Una función aritmética f =6 0 es multiplicativa si f(mn) = f(m)f(n) siempre que (m,n) = 1, y es completamente multiplicativa si f(mn) = f(m)f(n) para todo par m,n ∈ M(q;t).
Definición 2.5. La función aritmética I dada por
se llama la función identidad.
Definición 2.6. El análogo de la función de Mo¨bius µ está definida por
son mutuamente distintos.
Teorema 2.7. [1, Lección VII,
Proposición 6 (a)], [2, Capítulo 2, Sección 2] La función de Mo¨bius satisface la relación
Teorema 2.8. La función de Mo¨bius µ es multiplicativa.
Demostración.
Sean a,b
∈ M(q;T), y escribamos tales que pi,qj ∈ P(q;T).
Si (a,b) =
1, entonces los pi son distintos de los qj.
Si algunos de los αi
o de los βj es mayor que 1, entonces a o b tiene algún divisor cuadrado
que también lo será de ab. Por lo tanto, µ(ab) = 0 = µ(a)µ(b). Por el
contrario, si α1 = ··· = αr = β1 = ··· = βs
= 1, entonces
Por lo tanto, µ(ab) = µ(a)µ(b). X
Definición 2.9. La norma | · | de un polinomio unitario de Fq[t] es una función | · | : M(q;t) → N tal que |a(t)| = qn con n = deg(a(t)). Como tal, esta función tiene las siguientes propiedades:
(i). |1| = 1,
(ii). si p(t) ∈ P(q;t), entonces |p(t)| > 1, y
(iii). |a1(t)a2(t)| = |a1(t)||a2(t)| para a1(t),a2(t) ∈ M(q;t).
Proposición 2.10 (Fórmula de la inversión de M¨obius). Sean f y g dos funciones aritméticas. Suponga que para cada a ∈ M(q;t) la función
y la función f es multiplicativa.
Véase la prueba en [1, Lección VII, Proposición 9] o en [2, Capítulo 2, Sección 7].
Definición 2.11. El análogo de la función de von Mangoldt está definida por
Como Λ(1) = 0, esta función no es invertible y mucho menos multiplicativa.
Definición 2.12. Sea G un grupo abeliano finito, denotado multiplicativamente. Un homomorfismo f : G → C∗ se llama un carácter de G si f tiene la propiedad multiplicativa
f(g1g2) = f(g1)f(g2)
para todo g1, g2 en G, y f(1G) = 1, donde 1G es el elemento unidad de G. El conjunto de todos los caracteres de G se denota con Gb, esto es
Gb = {f : G → C∗ | f es un homomorfismo de grupos}.
Todo grupo admite, por lo menos, un carácter fo(g) := 1, para todo g ∈ G. A este interna sobre Gb, de la siguiente manera: b
carácter se le llama principal. Si f1,f2 ∈ G, podemos definir una ley de composición
(f1f2)(g) := f1(g)f2(g) (3)
para cualquier g de G. Además, fof = ffo = f, para cualquier f ∈ Gb.
Definición 2.13. Sea m ∈ Fq[t] un polinomio no constante fijo. Sea χ′ : (Fq[t]/(m(t)))∗ → C∗ un homomorfismo. Dado χ′, definamos χ : Fq[t] → C∗ de la siguiente forma:
Las funciones χ definidas de esta manera son llamadas caracteres de Dirichlet módulo m. El carácter principal χo es el que tiene las propiedades:
Definición 2.14. Sea m ∈ Fq[t]. Una función χ : Fq[t] → C∗ se llama un carácter multiplicativo módulo m si para cada a,b ∈ Fq[t] se tiene:
(i). χ(a) = 0, si (a,m) =6 1.
(ii). χ(1) =6 0.
(iii). χ(ab) = χ(a)χ(b).
(iv). a ≡ b m´od m, entonces χ(a) = χ(b).
Los caracteres de Dirichlet (que están definidos en Fq[t]) inducen y están inducidos por elementos en el grupo de caracteres de (Fq[t]/(m(t)))∗. Por consiguiente, hay exactamente ϕ(m) caracteres de Dirichlet módulo m(t). Los caracteres módulo m(t) de un grupo abeliano finito satisfacen ciertas relaciones de ortogonalidad. Aquí tomamos G = (Fq[t]/(m(t)))∗. Para nosotros, estas relaciones toman las siguientes formas:
Lema 2.15. [1, Lección VII, Proposición 13] o en [2, Teorema 6.16]. Sean χ1,··· ,χo(Gb) caracteres de Dirichlet módulo m (asumiendo χ1 como el carácter principal) y u,v ∈ Fq[t] con (v,m) = 1. Entonces,
Antes de proceder, introducimos un poco de notación: para p ∈ Fq[t] se define ϕ(p) como el cardinal del grupo de unidades de Fq[t]/(p). De aquí en adelante, π siempre denota un mónico irreducible de Fq[t], d, f siempre denotan polinomios mónicos, n siempre denota un entero no negativo. Las sumas de polinomios siempre se entiende que deben tomarse solo sobre polinomios mónicos. Con estos acuerdos, el principal resultado de este trabajo se puede expresar de la siguiente manera:
Teorema 3.1. Sean Fq un cuerpo finito, a,m ∈ Fq[t] con (a,m) = 1 y m 6= 0. Entonces, para n > 0,
En primer lugar demostraremos un análogo de la estimación log[x]! = xlogx − x + O(logx).
Lema 3.2. Para n > 0,
También necesitaremos algunos resultados elementales sobre la distribución de primos en Fq[t]. Estos serán consecuencias sencillas de los siguientes:
Teorema 3.3 (Teorema del número primo para Fq[t]).
Sea Fq
un cuerpo
finito. Sea νq(n) el
número de polinomios primos (mónicos) de grado n en Fq[t].
Para n
> 1,
d|n dν q(d) = qn. Así,
.
Demostración. Consideremos la factorización prima de tqn − t en Fq[t] y sea π(t) un primo mónico de grado d. Si d|n, entonces
tqd ≡ t m´od π(t) (4)
por el análogo del teorema pequeño de Fermat. Por consiguiente,
Recíprocamente, si, escogemos
g(t) como
un generador del grupo multiplicativo
. Entonces, dado que, tqn ≡ t m´od
π(t),
tenemos tqn = t+h(t)π(t)
con h(t) ∈ Fq[t]. Si g(t) = g0
+ g1t + ··· + gktk, donde cada gi ∈ Fq,
tenemos g(tqn)
≡ g(t) m´od π(t). Por otro lado,
g(tqn) = g0 + g1tqn + ··· + gktkqn
y, además,
g(t)qn = g0 + g1tqn + ··· + gktkqn,
puesto que Fq es un dominio de integridad con q − 1 unidades y de característica p. Entonces,
tal
que
Además, puesto que
lo que obliga a que d|nb. Sea n
tq − t = π1(t)π2(t)···πk(t) (5)
la factorización única de tqn − t en polinomios mónicos irreducibles. Por lo que se probó anteriormente, cada irreducible mónico de grado divisor de n debe ser o aparece como uno de los πi, y cada πi es un irreducible mónico de grado divisor de n (pues, πi|tqn −t). Además, ningún πi aparece más de una vez. De esto, se deduce que
donde
.
Por otro lado, como entonces qd < qn/3 y, además, |µ(n/d)|
6 1; por
donde t1,t2,··· ,tr son los divisores de n menores que n/4. Por lo tanto,
|− qn/2 + S| 6 qn/2 + |S| < qn/2 + nqn/3.
Entonces,
.
Si n = 3t, con t = 2,3,···, entonces,
Donde
donde t1,t2,··· ,tr son los divisores de n menores que n/3. Así, de esta forma, se verifica (6). Análogamente, (6) se verifica si n = pt, donde p es un entero primo y t ∈ Z+. De acuerdo con lo anterior, (6) se cumple para n > 1. De (6) se tiene
concluyendo así lo deseado. X
Lema 3.4. Para cada f,
También,
d|f
Demostración.
Sea primo, para 1 6 i 6 k. Entonces,
|f| = |π1|a1|π2|a2 ···|πk|ak.
Por lo tanto,
Por otro lado, si entonces Λ(d) =6 0, por lo cual
debido a (7). La segunda afirmación se sigue por una generalización apropiada de la fórmula de la inversión de Mobius.¨ Podemos dar una prueba directa de la siguiente manera:
Para evaluar el lado izquierdo es suficiente restringir la suma a divisores libres de cuadrados d. Expandiendo log|d| formalmente, tenemos
donde π son los divisores primos de f distintos mutuamente, y k es el número de divisores primos de f distintos mutuamente. De esta manera,
Nótese que para k = 0, de modo que f =
1, la suma de la derecha es vacía. Si k =
1, entonces,
y el lado derecho se evalúa como −log|π1|. Si k > 2,
la suma interior es igual a −(1−1)k−1 = 0.
Por lo tanto, en cualquier caso el resultado se demuestra. X
Del Teorema 3.3 podemos inferir lo siguiente:
Afirmación 3.5. La suma de los grados de todos los polinomios primos π(t) en Fq[t] que dividen al entero positivo r es qr. Esto es, X deg(π(t)) = qr.
Lema 3.6. Para n > 0,
Observación 3.7. Esta es otra forma del teorema del número primo para Fq[t]. Aquí tenemos una fórmula exacta y simple para esta suma.
Demostración.
pues degπk = k degπ. Si r = k degπ con k > 1, entonces 1 6 degπ 6 r 6 n. Por lo tanto, por la Afirmación 3.5, tenemos
Considerando los resultados anteriores, se sigue la igualdad deseada.
Lema 3.8. Para n > 0,
También,
Demostración. La primera igualdad se sigue por la reordenación de la suma, al igual que cuando se prueba la afirmación análoga sobre Z. De esta forma tenemos
Por otro lado, si r = degπ, tenemos
Por consiguiente,
Por otro lado, nótese que para k > 2, se tiene
Entonces, multiplicando ambos lados de la desigualdad anterior por logq, se tiene
Lo anterior implica que
Luego, de (8), tenemos
También, 2qk 6 q2k para k > 1. Por consiguiente,
Si k = degπ, tenemos
Como consecuencia,
Entonces,
pues, existe M > 0 tal que . De
aquí resulta
Finalmente, puesto que
obtenemos,
De esta manera, se tiene
De la prueba del Lema 3.6, ψ(k) − ψ(k − 1) = qk logq, cuando k > 1; por tanto,
Refiriéndonos a la primera parte del lema, tenemos
Definición 3.9. Sea s = σ + iγ un número complejo. Para un carácter no principal χ módulo m(t), con m(t) ∈ Fq[t], definamos
como la función L asociada a χ.
Definición 3.10. Para un carácter no principal χ módulo m(t), con m(t) ∈ Fq[t], hagamos
Aparentemente, la suma anterior es infinita. Sin embargo, más adelante vamos a demostrar que cuando k > degm, ck = 0, de manera que en la definición de L(χ) solo se necesita la suma hasta k = degm − 1.
Proposición 3.11. Para cualquier carácter χ módulo m sobre Fq[t], la serie
es absolutamente convergente para σ = Re(s) > 1.
Demostración. Tomemos σ = R(s) > 1. Como |f| = qk, donde k = degf, y existen qk polinomios mónicos de grado k, tenemos, para todo k = 0,1,2,..., lo siguiente:
Luego,
Por lo tanto,
Ahora podemos establecer la no anulación de L(χ) para χ real no principal. Considerando que la próxima afirmación es uno de los pasos más difíciles de la prueba del teorema de Dirichlet sobre Z, aquí se trabaja un argumento bastante sencillo.
Teorema 3.12. Si χ =6 χo es un carácter de Dirichlet real módulo m, entonces L(χ) =6 0.
Demostración. Definamos la
cual es una función multiplicativa, pues χ es una función multiplicativa.
Ahora, como χ
es real, tenemos: si χ(π) = 0, entonces
concluimos que
.
Por lo tanto, siempre se tiene F(πl) > 0, con F(πl) > 1 si l es par. Consecuentemente, siempre se tiene F(f) > 0, y en particular, F(f) > 1 si f es un cuadrado (es decir, f es de la forma π2i, con i = 0,1,···). Para un número natural z, definamos S(z) := X F(f).
Entonces,
De donde tenemos que
S(z) → ∞ cuando z → ∞. (12)
Por consiguiente,
Luego para z > degm − 1,
donde es constante. De esta manera, si L(χ) = 0,
S(z) = c para z >degm−1, contradiciendo lo probado en
(12). Esta contradicción completa la prueba. X Ahora,
estamos listos para movernos a la parte principal del argumento: Estudiaremos
las funciones Aχ(n) :=
X χ(f)Λ(f)/|f|.
degf6n
Teorema 3.13. Para n > 0, Aχo(n) = log(qn) + O(1).
Demostración. Nótese que, si (gk,m) = 1, para k > 1, con g y m en M(q;T), entonces (g,m) = 1. De lo anterior se tiene
,
Por las propiedades de O-grande,
y por el Lema 3.8.
El resto de esta sección está dedicada a mostrar que para χ =6 χo, Aχ(n) = O(1). El Teorema 3.1 se seguirá de este resultado, del Teorema 3.13 y las relaciones de ortogonalidad.
Lema 3.14. Sea χ un carácter no principal. Para n > 0,
.
Demostración. Como se demostró anteriormente, la función de la izquierda se anula para k > degm. También se anula para n > degm − 1. Por otro lado, supóngase que n 6 degm − 2. Nótese que
De lo anterior deducimos inmediatamente el
Corolario 3.16. Si L(χ) =6 0 para el carácter no principal χ, entonces Aχ(n) = O(1).
Lema 3.17. Sea χ un carácter no principal. Para n > 0,
En particular, si L(χ) = 0, Aχ(n) = −log(qn) + O(1).
Demostración.
Evaluemos de dos maneras diferentes. Nótese que, por
Lema 3.4
[Revista
Corolario 3.19 (No anulación de L(χ) para χ no real). Si χ es un carácter que toma al menos un valor no real, L(χ) =6 0.
pues G ∼= Gb, tomando o(G) = k. Entonces,
Es decir,
donde V es el número de caracteres χ tales que L(χ) = 0, es decir, 1 6 V 6 k−1. Nótese que log|π| = degπ logq > 0, pues logq > log2 y degπ > 1. Entonces,
Puesto que el lado izquierdo de
(14) es no negativo para todo n, debemos tener V 6 1. Pero si
L(χ1)
= 0 para un carácter no real χ1,
entonces .
Dado que χ1 toma, al menos, un valor no real, χ1 =6
χ1 y, por
tanto, V > 2,
hay al menos dos caracteres χ diferentes tales que L(χ) = 0,
contradiciendo lo anterior.
Puesto que por el Corolario 3.19 y el Teorema 3.12, L(χ) 6= 0 para cada χ no principal, el Corolario 3.16 implica el esperado
Corolario 3.20. Si χ es un carácter no principal, Aχ(n) = O(1).
Por consiguiente,
Referencias
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Apostol
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Dirichlet
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deren erstes Glied und Differenz ganze Zahlen ohne gemeinschlaftichen Factor
sind unendliche viele Primzahlen enthglt”, Abhand. Ak. Wiss. Berlin, 1 (1837),
45–81, [Werke, 1: 315–342].
Ireland K.
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New York, 1990.
Pollack P.,
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Rosen M.,
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Shapiro H.N.,“On primes in Arithmetic progression II”, Ann. of Math. (2) 52 (1950), No. 1, 231–243.