El espacio de Golomb y su no conexidad en pequeño

1. José del Carmen Alberto-Domínguez^a∗, Gerardo Acosta^b,

2. Gerardo Delgadillo-Piñón^a, Maira Madriz-Mendoza^c

^a Universidad Juárez Autónoma de Tabasco, División Académica de Ciencias Básicas, Tabasco, México.

^b Universidad Nacional Autónoma de México, Instituto de Matemáticas, Ciudad de

México, México.

^c Instituto Tecnológico Autónomo de México, Departamento de Matemáticas, Ciudad de México, México.

Resumen.

En el presente trabajo, estudiamos los espacios de Brown, que son conexos y no completamente de Hausdorff. Utilizando progresiones aritméticas, construimos una base B_G para una topología τ_G de N, y mostramos que

(N,τ_G), llamado el espacio de Golomb, es de Brown. También probamos que hay elementos de B_G que son de Brown, mientras que otros están totalmente separados. Escribimos algunas consecuencias de este resultado. Por ejemplo, (N,τ_G) no es conexo en pequeño en ninguno de sus puntos. Esto generaliza un resultado probado por Kirch en 1969. También damos una prueba más simple de un resultado presentado por Szczuka en 2010.

Palabras clave: Conexidad, conexidad en pequeño, conexidad local, progresión aritmética, topología de Golomb.

MSC2010: 54D05, 11B25, 54D10, 54A05, 11B05, 11A07, 11A41.

The Golomb space and its non connectedness “im

kleinen”

Abstract.

In the present paper we study Brown spaces which are connected and not completely Hausdorff. Using arithmetic progressions, we construct a base B_G for a topology τ_G on N, and show that (N,τ_G), called the Golomb space is a Brown space. We also show that some elements of B_G are Brown spaces, while others are totally separated. We write some consequences of such result. For example, the space (N,τ_G) is not connected “im kleinen” at each of its points. This generalizes a result proved by Kirch in 1969. We also present a simpler proof of a result given by Szczuka in 2010.

Keywords: Arithmetic progression, connectedness, connectedness “im kleinen”, Golomb topology, local connectedness.

3. Introducción

Denotamos por R,Z y N los conjuntos de los números reales, de los números enteros y de los números naturales, respectivamente. Además, N₀ = N∪{0}. También denotamos por P el conjunto de los números primos, y suponemos que P ⊂ N. Dados a,b ∈ Z, en donde al menos uno de ellos es diferente de cero, el símbolo ha,bi denota el máximo común divisor de a y b. Para cada a,b ∈ N, consideramos las progresiones aritméticas

P(a,b) = {b + an: n ∈ N₀} = b + aN₀

y

P_G(a,b) = {b + an: n ∈ N₀} = b + aN₀, siempre que ha,bi = 1. Para a ∈ N y b ∈ Z, también consideramos las progresiones aritméticas

P_F(a,b) = {b + az: z ∈ Z} = b + aZ y M(a) = {an: n ∈ N}.

Notemos que P(a,b) = P_G(a,b) si y sólo si ha,bi = 1. Además, M(a) = P(a,a). En 1955 Furstenberg probó en [6] que la familia

B_F = {P_F(a,b): (a,b) ∈ N × Z}

es base de una topología τ_F en Z. También mostró que el espacio topológico (Z,τ_F ) es segundo numerable y T₄, por lo que es metrizable. Más aún, hizo ver que cada básico P_F (a,b) es abierto y cerrado en (Z,τ_F ), así que este espacio es cero-dimensional y no conexo.

Tanto en 1959 como en 1962, Golomb probó en [7] y en [8] que la familia

B_G = {P_G(a,b): (a,b) ∈ N × N y ha,bi = 1}

es base de una topología τ_G en N (ver Teorema 3.2). En [12, Ejemplos 60 y 61, p. 82] , cuya primera edición fue publicada en 1970, a τ_G se lo llama la “topología del entero primo relativo”. En el presente trabajo, al igual que en los artículos [13], [14], [15], [16] , [17] y [18] de Szczuka, a τ_G lo llamamos la topología de Golomb, y decimos que el espacio topológico (N,τ_G) es el espacio de Golomb.

En [7, Teoremas 2 y 3, p. 663] y [8, Teoremas 2 y 3, p. 180], Golomb probó que (N,τ_G) es segundo numerable, T₂ y conexo (ver Teoremas 4.1, 4.11 y 4.17). Usando el hecho de que, para cada p ∈ P, el conjunto M(p) es cerrado en (N,τ_G) (ver Teorema 4.2), Golomb probó en [7, Teorema 1, p. 663] y [8, Teorema 1, p. 180], que P es infinito (ver Teorema 4.3). Usando una fuerte herramienta de la Teoría Analítica de Números, Golomb probó en [7 , Teoremas 6 y 7, p. 664] y [8, Teoremas 6 y 7, p. 181], que P es denso en (N,τ_G) y tiene interior vacío (ver Teoremas 4.28 y 4.29).

La prueba de la conexidad de (N,τ_G), como fue presentada por Golomb, utiliza argumentos propios de la Teoría de Números. Como se indica en [7, p. 663] y [8, p. 180] “una prueba de la conexidad de (N,τ_G), que no utiliza argumentos de la Teoría de Números, fue presentada por Brown en abril de 1953, durante el congreso de la Sociedad Matemática Americana”, que se llevó a cabo en la ciudad de Nueva York. Brown estudió el espacio (N,τ_G) antes que Golomb, pero no publicó sus resultados. El resumen de la plática de Brown, publicado en [2, p. 367] y en donde se bosqueja la manera de demostrar la conexidad de (N,τ_G), motivó en 2017 a Clark, Lebowitz-Lockard y Pollack, a acuñar en [3] la siguiente noción.

Definición 1.1. Un espacio de Brown es un espacio topológico X tal que para cada dos subconjuntos abiertos y no vacíos U y V de X, tenemos que cl_X(U) ∩ cl_X(V ) 6= ∅. Si X es un espacio topológico y Y ⊂ X, decimos que Y es un espacio de Brown en X si Y, como subespacio de X, es de Brown.

Sea X un espacio topológico. Para simplificar, diremos que X es de Brown, en lugar de decir que X es un espacio de Brown. Si X es no numerable y su topología es la del complemento finito o bien la del complemento numerable, entonces X es de Brown. El siguiente resultado aparece en [3, Proposición 6].

Teorema 1.2. Todo espacio de Brown X es conexo.

Demostración. Si X no es conexo, entonces existen dos subconjuntos no vacíos U y V de X, abiertos y cerrados en X, tales que X = U ∪ V y U ∩ V = ∅. Entonces cl_X(U) ∩ cl_X(V ) = U ∩ V = ∅, lo cual contradice el hecho de que X es de Brown. ^X

En el presente trabajo damos una prueba explícita del hecho de que (N,τ_G) es de Brown (ver Teorema 4.17). También probamos que, para cada d ∈ N, la progresión aritmética P_G(1,d) es de Brown en (N,τ_G) (ver Teorema 4.16).

En 1969 Kirch demostró en [9, Teorema 1, p. 169], que (N,τ_G) no es localmente conexo. Formalmente, hizo ver que (N,τ_G) no es localmente conexo en 1. Luego de esto definió, en el mismo artículo, una topología τ_K en N tal que τ_K ⊂ τ_G y (N,τ_K) es conexo, T₂ y localmente conexo. Aunque Kirch fue el primero en probar que (N,τ_G) no es localmente conexo, presentamos este hecho de manera más general, pues, como vemos en el Teorema 4.20, para ningún d ∈ N el conjunto P_G(1,d) es conexo en pequeño o casi conexo en pequeño, en cada uno de sus puntos.

El presente trabajo está dividido en cuatro secciones. Luego de esta Introducción, en la Sección 2 presentamos una serie de nociones y resultados, propios de la Teoría de Números y de la Topología General, que serán necesarios para probar las propiedades topológicas del espacio (N,τ_G), trabajo que se realiza en las Secciones 3 y 4. Conviene destacar que varios resultados presentados en la Sección 4 aparecen por vez primera.

Incluimos en la Sección 4 una serie de preguntas abiertas.

4. Definiciones y resultados iniciales

En esta sección presentamos una serie de definiciones y resultados básicos que utilizaremos para probar los enunciados principales. La mayoría de los resultados, propios de la Teoría de Números y de la Topología General, son conocidos y se indica, en cada caso, una referencia adecuada. Un conjunto es numerable si tiene la misma cardinalidad que un subconjunto de N. Un conjunto es infinito numerable si tiene la misma cardinalidad que N.

4.1. Teoría de números

En la presente subsección damos por hecho que el lector tiene conocimientos básicos de la Teoría de Números, por lo que omitiremos varias demostraciones, remitiendo al lector

interesado a textos clásicos como [1] y [11], o bien a uno más reciente como [5]. Si c,d ∈ Z y c divide a d, escribimos c | d. En caso contrario, escribimos c ∤ d. Si c,d ∈ N y c | d, entonces c ≦ d. Recordemos que el máximo común divisor de los enteros a y b, en donde al menos uno de ellos es diferente de cero, lo denotamos por ha,bi. Es claro que ha,bi∈ N, y que

ha,1i = 1 para cada a ∈ Z. (1)

Los dos resultados siguientes, aparecen probados en [11, Teorema 1.2, p. 5] y [11, Teorema 1.9, p. 9], respectivamente. El primero de ellos es conocido como el Algoritmo de la División.

Teorema 2.1. Si a,b ∈ Z con b 6= 0, entonces existen dos enteros únicos q y r, tales que a = bq + r y 0 ≦ r < |b|.

Teorema 2.2. Si a,b,q,r ∈ Z son tales que a = bq + r, entonces ha,bi = hb,ri.

El resultado siguiente aparece probado en [11, Teoremas 1.3 y 1.4, p. 7-8].

Teorema 2.3. Si a,b ∈ Z y g = ha,bi, entonces existen n,m ∈ Z tales que g = an + bm. Más aún, si 1 es combinación lineal de a y b, entonces ha,bi = 1. Si d es una combinación lineal de a y b, entonces g | d.

Teorema 2.4. Supongamos que b,a₁,a₂ ∈ Z son tales que hb,a₁i = hb,a₂i = 1. Entonces hb,a₁a₂i = 1. En particular, para cada

Demostración. Como 1 = hb,a₁i = hb,a₂i, por el Teorema 2.3 existen n₀,n₁,m₀,m₁ ∈ Z tales que 1 = bn₀ + a₁m₀ y 1 = bn₁ + a₂m₁. Entonces,

(a₁m₀)(a₂m₁) = (1 − bn₀)(1 − bn₁) = 1 − b(n₁ + n₀ − bn₀n₁).

Haciendo n = n₁ +n₀ − bn₀n₁ y m = m₀m₁, tenemos que 1 = bn +(a₁a₂)m. Luego 1 es una combinación lineal de b y a₁a₂ y, por la segunda parte del Teorema 2.3, hb,a₁a₂i = 1. En particular, cuando a₁ = a₂, hb,a²₁i = hb,a²₂i = 1 y, por inducción, para cada n ∈ N tenemos que

Diremos que p ∈ Nr {1} es un número primo si sus únicos divisores positivos son 1 y p. Recordemos que P denota al conjunto de los números primos.

Teorema 2.5. Sean p ∈ P y a ∈ Z. Si p ∤ a, entonces hp,ai = 1. En particular, para cada a ∈{1,2,...,p − 1}, tenemos que hp,ai = 1.

Demostración. Sea d = hp,ai. Entonces d ∈ N y d | p, de manera que d = 1 o bien d = p, ya que p es un número primo. Si d = p, sucede que p | a, contradiciendo que p ∤ a. Luego d = 1 y hp,ai = 1. Ahora tomemos a ∈{1,2,...,p − 1}. Entonces a < p. Si p | a, resulta que p ≦ a, lo cual es una contradicción. Por tanto, p ∤ a y, así, hp,ai = 1. ^X

Una prueba del siguiente resultado aparece en [11, Teorema 1.15, p. 23].

Teorema 2.6. Sea p ∈ P. Si u,v ∈ Z son tales que p | uv, entonces p | u o bien p | v.

El siguiente resultado aparece, sin demostración, tanto en [9, p. 169] como en [13, p. 902]. Lo utilizaremos más adelante, y presentemos aquí una prueba del mismo.

Teorema 2.7. Sean p ∈ P y b ∈ Z tales que hp,bi = 1. Entonces, para toda n,s ∈ N₀,

hpn + b,p^si = 1. (2)

En particular si b ∈ N, entonces para cada m ∈ P_G(p,b) y todo s ∈ N₀, tenemos que hm,p^si = 1.

Demostración. Si s = 0, por (1)

hpn + b,p^si = hpn + b,p⁰i = hpn + b,1i = 1, para cada n ∈ N₀.

Si s = 1, entonces, como hp,bi = 1, por el Teorema 2.2

hpn + b,p^si = hpn + b,pi = hp,bi = 1, para todo n ∈ N₀. (3)

Supongamos ahora que existen s₀ ∈ N r {1} y n₀ ∈ N₀ tales que g = hpn₀ + b,p^s0i > 1. Sea q ∈ P tal que q | g. Luego q | (pn₀ + b) y q | p^s0. Como p,q ∈ P y q | p^s0, por el Teorema 2.6, q = p. Así, q | (pn₀ + b) y q | p, de donde q |hpn₀ + b,pi y, por (3), q | 1, lo cual es una contradicción. Por lo tanto hpn + b,p^si = 1, para todo s,n ∈ N₀. Esto termina la primera parte del teorema. La segunda parte es una consecuencia inmediata de la primera. ^X

4.2. Congruencias

Ahora veamos algunos resultados sobre las congruencias numéricas. Supongamos que a,b ∈ N y m ∈ N r {1}. Si a es congruente con b módulo m, escribimos a ≡ b(mód m). De lo contrario, escribimos a 6≡ b(mód m). Sean a,b ∈ N, con a =6 1. Si c ∈ P(a,b), entonces c ≡ b(mód a). Si c ≡ b(mód a) y c ≧ b, entonces c ∈ P(a,b). Tenemos también el siguiente resultado.

Teorema 2.8. Sean a,b ∈ N. Entonces P(a,b) ⊂ P_F(a,b). Más aún, si b ≦ a entonces P_F (a,b) ∩ N = P(a,b).

Demostración. Sea c ∈ P_G(a,b). Entonces c = am + b, para algún m ∈ N₀. Como N ⊂ N₀ ⊂ Z, se sigue que b y m son enteros tales que c = am + b. Luego c ∈ P_F(a,b). Por tanto, P(a,b) ⊂ P_F(a,b). Como P(a,b) ⊂ N, tenemos que P(a,b) ⊂ P_F (a,b) ∩ N.

Supongamos ahora que b ≦ a. Sean y ∈ P_F (a,b) ∩ N y z ∈ Z tales que y = az + b. Si z ≦−1, entonces az ≦ bz ≦−b, de donde y = az+b ≦ 0, lo cual contradice el que y ∈ N. Luego z ≧ 0 y, así, y ∈ P(a,b). Esto prueba que P_F(a,b) ∩ N ⊂ P(a,b) y, como la otra contención también es cierta, P_F(a,b) ∩ N = P(a,b). ^X

Sean a,b ∈ N. Si a < b, entonces algunos elementos de P_F (a,b) ∩ N son menores que b y, por tanto, no se encuentran en P(a,b). Por ejemplo, b − a = a(−1) + b ∈ (P_F (a,b) ∩ N) r P(a,b).

En [1, Teorema 5.10(c), p. 110] se prueba que, para cada m ∈ N r {1}, el conjunto Z se divide en justo m clases de equivalencia distintas, a saber [0],[1],...,[m−1]. Esto motiva la siguiente definición.

Definición 2.9. Sea m ∈ N r {1}. Un conjunto A de m números enteros es un sistema completo de residuos módulo m, si cada elemento de A es un representante de una y solo una de las clases [0],[1],...,[m − 1].

Sea m ∈ Nr{1}. Es claro que el conjunto {0,1,2,...,m−1} es un sistema completo de residuos módulo m. A continuación, presentamos otras propiedades de las congruencias, que se utilizarán más adelante. Una demostración del siguiente resultado aparece en [5 , Lema 2.4.3, p. 24].

Teorema 2.10. Sean m ∈ N r {1} y a,b,c,d ∈ Z. Entonces:

1) Si a ≡ b(mód m) y c ≡ d(mód m), entonces a+c ≡ b+d(mód m). En particular, a ≡ b(mód m) si y sólo si a + x ≡ b + x(mód m), para cualquier entero x.

2) Si a ≡ b(mód m) y d | m, con d > 1, entonces a ≡ b(mód d).

3) Si c ∈ N, entonces a ≡ b(mód m) si y sólo si ac ≡ bc(mód mc).

Decimos que los enteros m₁,m₂,...,m_n ∈ Nr{1} son primos relativos dos a dos si para cada i,j ∈ {1,2,...,n} con i 6= j, hm_i,m_ji = 1. El siguiente resultado es el Teorema Chino del Residuo. Una prueba del mismo aparece en [11, Teorema 2.18, p. 64].

Teorema 2.11. Supongamos que m₁,m₂,...,m_n ∈ N r {1}. Entonces todo sistema de congruencias lineales del tipo

x ≡ a₁ (mód m₁), x ≡ a₂ (mód m₂), ... x ≡ a_n (mód m_n),

en los cuales los módulos m₁,m₂,...,m_n son primos relativos dos a dos, tiene una única solución con módulo igual al producto de los módulos. Es decir, existe un único entero a tal que x ≡ a(mód m₁m₂···m_n).

4.3. Topología general

En la presente subsección damos por hecho que el lector tiene conocimientos básicos de la Topología General, por lo que omitiremos varias demostraciones, remitiendo al lector interesado a textos clásicos como [4] y [19]. Si X es un espacio topológico y A ⊂ X, denotamos por int_X(A) y cl_X(A) el interior y la cerradura de A en X, respectivamente. En particular, si A ⊂ N, el símbolo clN(A) denota la cerradura de A en (N,τ_G). Si X es un espacio topológico y A ⊂ Y ⊂ X, entonces cl_Y (A) = cl_X(A) ∩ Y.

A continuación enlistamos una serie de axiomas de separación que se utilizan en el presente trabajo.

Definición 2.12. Un espacio topológico X es:

1) T₁, si para cada x ∈ X el conjunto {x} es cerrado en X;

2) T₂ o Hausdorff, si para cada x,y ∈ X con x 6= y, existen abiertos U y V en X tales que x ∈ U, y ∈ V y U ∩ V = ∅;

3) o completamente Hausdorff, si para cada x,y ∈ X con x 6= y, existen abiertos U y V en X tales que x ∈ U, y ∈ V y cl_X(U) ∩ cl_X(V ) = ∅;

4) regular, si para toda x ∈ X y cada cerrado C en X con x ∈/ C, existen abiertos U y V en X tales que x ∈ U, C ⊂ V y U ∩ V = ∅;

5) T₃, si X es regular y T₁;

6) T₄, si X es T₁ y para cada dos cerrados C y D en X con C ∩ D = ∅, existen dos abiertos U y V en X tales que C ⊂ U, D ⊂ V y U ∩ V = ∅.

Se sabe que y que ninguna de las implicaciones anteriores es reversible (ver [10, Ejemplos VII.4.2, VII.5.2, VII.6.8, VII.7.5 y VII.8.10]). De las correspondientes definiciones de espacio de Brown y de espacio, se tiene el siguiente resultado.

Teorema 2.13. Ningún espacio de Brown, con al menos dos puntos, es

Por el resultado anterior, ningún espacio de Brown es metrizable. Sean X un espacio topológico y x ∈ X. Decimos que X es indiscreto en x, o que x es un punto indiscreto de X, si X es el único subconjunto abierto en X que contiene a x. Notemos que X posee la topología indiscreta si y sólo si cada punto de X es indiscreto. El siguiente resultado se prueba en [3, Proposición 6].

Teorema 2.14. En un espacio topológico X se cumplen las siguientes propiedades:

1) si X contiene un punto indiscreto, entonces X es de Brown;

2) si X es de Brown, entonces X es regular si y sólo si X posee la topología indiscreta.

Notemos que los espacios T₁, con al menos dos puntos, no poseen puntos indiscretos. Utilizando esto y el Teorema 2.14, resulta que ningún espacio conexo y T₃, con al menos dos puntos, es de Brown. De manera más general, ningún espacio conexo, regular y sin puntos indiscretos, es de Brown. Esto implica que el recíproco del Teorema 1.2 no es cierto.

Sean X y Y dos espacios topológicos y f : X → Y una función continua y suprayectiva. No es difícil probar que si X es de Brown, entonces Y también es de Brown. Esto implica que si {X_s: s ∈ S} es una familia de espacios topológicos y el producto cartesiano _s∈_S X_s, con la topología producto, es de Brown, entonces cada X_s es de Brown. TampocoQ es difícil probar que si, en su lugar, suponemos que cada X_s es de Brown, entonces _s∈_S X_s

también es de Brown. Q

En el Teorema 4.17 mostramos que (N,τ_G) es de Brown, y en el Teorema 4.11, que dicho espacio es T₂. Combinando esto con el Teorema 2.13, tenemos que (N,τ_G) es un espacio T₂ que no es. Ahora bien, en el Teorema 4.18 exhibimos subespacios del espacio de Brown (N,τ_G), que no son de Brown. Por tanto, ser de Brown no es una propiedad hereditaria.

Considerando a R con la topología usual τ_U, resulta que si X es de Brown, entonces toda función continua f : X → R es constante. En efecto, si f no es constante, existen x,y ∈ X con x 6= y tales que f(x) 6= f(y). Como , existen abiertos U y V en R tales que f(x) ∈ U, f(y) ∈ V y clR(U) ∩ clR(V ) = ∅. Por la continuidad de f, f⁻¹(U) y f⁻¹(V ) son abiertos en X tales que x ∈ f⁻¹(U), y ∈ f⁻¹(V ) y

Como esto contradice el que X es de Brown, f es constante.

Utilizando [4, Teorema 3.8.2 y Corolario 6.1.4], se tiene el siguiente resultado, que habla sobre la cardinalidad de un conjunto conexo y T₃.

Teorema 2.15. Si X es conexo, no vacío, numerable y T₃, entonces X posee solamente un elemento.

Sean X un espacio topológico y x ∈ X. La componente (conexa) de X que tiene a x, es la unión de todos los subconjuntos conexos de X que tienen a x. La casicomponente de X que tiene a x, es la intersección de todos los subconjuntos abiertos y cerrados de X que tienen a x. Haremos uso de estos términos, y de los que aparecen en la siguiente definición.

Definición 2.16. Un espacio topológico X

1) es hereditariamente disconexo, si ningún subconjunto conexo y no vacío de X, tiene más de un elemento;

2) está totalmente separado, si para cada x,y ∈ X con x 6= y, existen abiertos U y

V en X tales que x ∈ U, y ∈ V, X = U ∪ V y U ∩ V = ∅;

3) es cero-dimensional, si X es T₁ y posee una base cuyos elementos son abiertos y cerrados en X.

A los espacios hereditariamente disconexos se los suele también llamar totalmente disconexos. En [4, Teorema 6.2.1] se prueba que todo espacio cero-dimencional es hereditariamente disconexo. En [4, Teorema 6.2.9] se prueba que si X es hereditariamente disconexo y localmente compacto, entonces X es cero-dimensional. Notemos que un espacio X es hereditariamente disconexo si y sólo si, para cada x ∈ X la componente C_x de X que tiene a x es justo el conjunto {x}. Notemos también que X está totalmente separado si y sólo si, para cada x ∈ X la casicomponente Q_x de X que tiene a x coincide con el conjunto {x}. Por [4, Teorema 6.1.22], C_x ⊂ Q_x para cada x ∈ X, así que los espacios totalmente separados son hereditariamente disconexos. Si X es compacto y T₂, por [4 , Teorema 6.1.23], C_x = Q_x para cada x ∈ X. Por tanto, en los espacios compactos y T₂, las nociones de espacio hereditariamente disconexo y de espacio totalmente separado coinciden.

Sean X un espacio topológico y a,b ∈ X. Decimos que X es conexo entre a y b si para cada par de abiertos U y V en X tales que a ∈ U, b ∈ V y U ∩ V = ∅, se sigue que X 6= U ∪ V. No es difícil probar que si X es T₂, entonces X está totalmente separado si sólo si para cada a,b ∈ X con a 6= b, X no es conexo entre a y b.

A continuación enlistamos una serie de axiomas de conexidad que se utilizarán más adelante. Todos ellos garantizan la existencia de conjuntos conexos con interior no vacío.

Definición 2.17. Sean X un espacio topológico y x ∈ X. Diremos que X es:

1) conexo en pequeño en x, si para todo abierto U en X con x ∈ U, existe un subconjunto conexo V de X tal que x ∈ int_X(V ) ⊂ V ⊂ U;

2) localmente conexo en x, si para cada abierto U en X con x ∈ U, existe un abierto y conexo V en X tal que x ∈ V ⊂ U;

3) casi conexo en pequeño en x, si para cada abierto V en X con x ∈ V, existe un subconjunto conexo y cerrado U en X tal que int_X(U) 6= ∅ y U ⊂ V ;

4) casi conexo en pequeño, si X es casi conexo en pequeño en cada uno de sus puntos;

5) localmente conexo, si X es localmente conexo en cada uno de sus puntos.

Es claro que si X es localmente conexo en x, entonces X es conexo en pequeño en x. Ahora mostraremos que el recíproco de esta implicación no es cierto. Vamos a describir un subespacio Z de R², con la topología usual. Para cada y

L_i,0 el segmento de recta con extremos q_i y q_i+1. Para toda (i,n) ∈ N×N, consideremos el punto

así como el segmento de recta L_i,n con extremos p_i,n y q_i. Es decir, para cada (i,n) ∈

N × N,

donde es la ecuación de la recta que pasa por los puntos p_i,n y q_i. Definamos, para cada i ∈ N, el conjunto

Entonces

es un espacio topológico compacto y conexo que, además, es conexo en pequeño en el punto (0,0) y no es localmente conexo en (0,0). El espacio Z, llamado la escoba infinita nula, aparece en [19, Ejemplo 27.15, p. 201], aunque no se indican los detalles de porque dicho espacio es conexo en pequeño en (0,0) y no localmente conexo en (0,0). Por consiguiente, la conexidad en pequeño en un punto, no implica la conexidad local en dicho punto. En [19, Teorema 27.16, p. 201] se prueba que si X es conexo en pequeño en cada uno de sus puntos, entonces X es localmente conexo. Con respecto al espacio Z que hemos descrito, sea

Notemos que Z es casi conexo en pequeño en cada punto p ∈ Y, y no es conexo en pequeño en p. Notemos también que si X es un espacio T₃ y conexo en pequeño en un punto x ∈ X, entonces X es casi conexo en pequeño en x.

5. La topología de Golomb

Recordemos que para cada a,b ∈ N con ha,bi = 1,

P_G(a,b) = {b + an: n ∈ N₀}.

En el siguiente teorema, enlistamos tres propiedades de los conjuntos anteriormente definidos.

Teorema 3.1. Para cada (a,b) ∈ N × N con ha,bi = 1, se satisfacen las siguientes propiedades:

1) P_G(a,b) es infinito, b ∈ P_G(a,b) y P_G(1,1) = N;

2) si c ∈ P_G(a,b), entonces ha,ci = 1 y P_G(a,c) ⊂ P_G(a,b) ;

3) si a₁,a₂ ∈ N y hb,a₁i = hb,a₂i = 1, entonces hb,a₁a₂i = 1 y P_G(a₁a₂,b) ⊂

P_G(a₁,b) ∩ P_G(a₂,b).

Demostración. Para ver 1) y 2), sea (a,b) ∈ N×N con ha,bi = 1. Entonces b = a(0)+b ∈ P_G(a,b), es decir, b ∈ P_G(a,b). Para probar la infinitud de P_G(a,b), sea f : N₀ → P_G(a,b) la función definida como f(m) = am + b, para cada m ∈ N₀. Si n,m ∈ N₀ son tales que f(n) = f(m), entonces an + b = am + b, por lo que an = am y, como a ∈ N, la igualdad am = an implica que n = m. Esto prueba que f es inyectiva. Claramente f es sobreyectiva, así que f es biyectiva. Luego N₀ y P_G(a,b) tienen la misma cardinalidad, de donde P_G(a,b) es infinito numerable. Para ver que P_G(1,1) = N, sea n ∈ N. Como n = 1(n − 1) + 1 y (n − 1) ∈ N₀, se sigue que n ∈ P_G(1,1). Luego N ⊂ P_G(1,1). Como también P_G(1,1) ⊂ N, concluimos que P_G(1,1) = N. Esto prueba 1).

Para probar 2), sea c ∈ P_G(a,b). Entonces existe n ∈ N₀ tal que c = b + na. Por el Teorema 2.2, hc,ai = ha,bi = 1. Si y ∈ P_G(a,c), entonces existe n₁ ∈ N₀ tal que y = c+n₁a.

Luego

y = c + n₁a = (b + na) + n₁a = b + (n + n₁)a ∈ P_G(a,b).

Esto prueba que P_G(a,c) ⊂ P_G(a,b) y 2) se cumple.

Para probar 3), sean b ∈ N y a₁,a₂ ∈ N tales que hb,a₁i = hb,a₂i = 1. Por el Teorema 2.4 , hb,a₁a₂i = 1. Si x ∈ P_G(a₁a₂,b), entonces existe n ∈ N₀ tal que x = b + n(a₁a₂). Por tanto, x = b + (na₂)a₁ ∈ P_G(a₁,b) y x = b + (na₁)a₂ ∈ P_G(a₂,b). Luego x ∈ P_G(a₁,b) ∩ P_G(a₂,b). Esto termina la prueba de 3). ^X

Consideremos ahora la familia

B_G = {P_G(a,b): (a,b) ∈ N × N con ha,bi = 1}.

Como indicamos en la Introducción, Golomb probó en [7] y en [8] que B_G es base de la topología τ_G en N que se indica en el siguiente resultado.

Teorema 3.2. La familia τ_G = {∅}∪{U ⊂ N: para cada b ∈ U existe a ∈ N tal que ha,bi = 1 y P_G(a,b) ⊂ U}, es una topología en N. Además B_G ⊂ τ_G y B_G es una base del espacio topológico (N,τ_G).

Demostración. Vamos a probar primero que τ_G es una topología. Por definición ∅∈ τ_G. Para cada b ∈ N, 1 ∈ N es tal que h1,bi = 1 y P_G(1,b) ⊂ N. Por tanto, N ∈ τ_G. Sea {U_i: i ∈ I} una familia de elementos en τ_G. Dada b ∈ _i∈_I U_i, existe i₀ ∈ I tal que b ∈ U_i0. Como U_i0 ∈ τ_G, existe a ∈ N tal que ha,bi = 1 y PSG(a,b) ⊂ U_i0. En vista de que U_i0 ⊂Si∈_I U_i, deducimos que P_G(a,b) ⊂Si∈_I U_i. Esto prueba que Si∈_I U_i ∈ τ_G.

Ahora supongamos que U,V ∈ τ_G. Si U ∩ V = ∅, entonces U ∩ V ∈ τ_G. Consideremos, por tanto, que U ∩V 6= ∅, y sea b ∈ U ∩V. Como b ∈ U, existe a₁ ∈ N tal que hb,a₁i = 1 y P_G(a₁,b) ⊂ U. Como también b ∈ V, existe a₂ ∈ N tal que hb,a₂i = 1 y P_G(a₂,b) ⊂ V. Notemos que a₁a₂ ∈ N. Además, por la propiedad 3) del Teorema 3.1, hb,a₁a₂i = 1 y

P_G(a₁a₂,b) ⊂ P_G(a₁,b) ∩ P_G(a₂,b) ⊂ U ∩ V.

Esto prueba que U ∩ V ∈ τ_G, por lo que τ_G es una topología en N.

Para mostrar que B_G ⊂ τ_G, sea P_G(a,b) ∈ B_G. Entonces a,b ∈ N y ha,bi = 1. Si c ∈ P_G(a,b), por la propiedad 2) del Teorema 3.1, ha,ci = 1 y P_G(a,c) ⊂ P_G(a,b). Luego P_G(a,b) ∈ τ_G. Esto prueba que B_G ⊂ τ_G.

Tomemos ahora U ∈ τ_G y b ∈ U. Entonces existe a ∈ N tal que ha,bi = 1 y P_G(a,b) ⊂ U. Como P_G(a,b) ∈B_G y b ∈ P_G(a,b) ⊂ U, resulta que U es una unión de elementos de B_G. Como cada elemento de B_G es abierto en (N,τ_G), tenemos que B_G es una base del espacio topológico (N,τ_G). ^X

6. Propiedades del espacio (N_,τG)

Vamos ahora a mostrar una serie de propiedades del espacio de Golomb (N,τ_G). Los Teoremas 4.1, 4.2, 4.3, 4.11, 4.28 y 4.29 se mencionaron en la Introducción, y fueron probados por Golomb.

Teorema 4.1. (N,τ_G) es segundo numerable. Más aún, cada subconjunto abierto y no vacío en (N,τ_G) es infinito.

Demostración. Por el Teorema 3.2, B_G es una base del espacio topológico (N,τ_G). Sea A = {(a,b) ∈ N × N: ha,bi = 1}. Como N es numerable, N × N también es numerable. Entonces A ⊂ N × N es numerable. Ahora consideremos la función g: A →B_G definida, para (a,b) ∈ A, como g(a,b) = P_G(a,b). Es claro que g es una función sobreyectiva y, como A es numerable, B_G es numerable. Por tanto (N,τ_G) es segundo numerable.

Sean U un subconjunto abierto y no vacío en (N,τ_G) y b ∈ U. Como B_G es una base de (N,τ_G), existe a ∈ N tal que ha,bi = 1 y P_G(a,b) ⊂ U. Por la propiedad 1) del Teorema 3.1, P_G(a,b) es infinito. Luego U es infinito. ^X

Teorema 4.2. Para cada p ∈ P, M(p) es cerrado en (N,τ_G).

Demostración. Como p ∈ P, por el Teorema 2.5, hp,ii = 1 para todo i ∈{1,2,...,p−1}. Por tanto cada conjunto P_G(p,i) es abierto en (N,τ_G). Además,

p−1

N r M(p) = [ P_G(p,i).

i=1

La uniónes un abierto en (N,τ_G). Entonces NrM(p) es abierto en (N,τ_G) y, así, M(p) es cerrado en (N,τ_G). ^X

Teorema 4.3. El conjunto P es infinito.

Demostración. Por el Teorema de Factorización Única, todo número natural distinto de

1 es múltiplo de algún número primo. Por tanto

N r {1} = [ M(p).

p∈P

Si P es finito, por el Teorema 4.2, _p∈_P M(p) es una unión finita de subconjuntos cerrados en (N,τ_G). Luego S_p∈_P M(p) es Scerrado en (N,τ_G) y, por tanto, N r {1} es cerrado en X (N,τ_G). Entonces {1} es abierto en (N,τ_G). Pero esto contradice el hecho de que los subconjuntos abiertos y no vacíos de (N,τ_G) son infinitos. Por lo tanto, P es infinito.

El siguiente resultado da una condición necesaria y suficiente para que dos elementos de la base B_F se intersequen.

Teorema 4.4. Sean a,c ∈ N y b,d ∈ Z. Entonces P_F (a,b) ∩ P_F (c,d) =6 ∅ si y sólo si ha,ci| (b − d).

Demostración. Supongamos que P_F (a,b)∩P_F (c,d) 6= ∅. Sean x,y ∈ Z tales que ax+b = cy + d. Luego b − d = cy + a(−x), por lo que b − d es una combinación lineal de a y c. Entonces, por la tercera parte del Teorema 2.3, ha,ci| (b − d).

Supongamos ahora que ha,ci | (b − d). Entonces existe z ∈ Z tal que b − d = zha,ci. Por la primera parte del Teorema 2.3, existen s,t ∈ Z tales que ha,ci = as + ct. Luego b − d = asz + ctz, de donde d + c(tz) = b + a(−sz). Notemos que d + c(tz) ∈ P_F (c,d) y b + a(−sz) ∈ P_F(a,b). Luego P_F(a,b) ∩ P_F (c,d) =6 ∅. ^X

En la demostración del siguiente resultado utilizamos la Propiedad Arquimediana, la cual dice que si a,b ∈ R y a > 0, entonces existe n ∈ N tal que an > b.

Teorema 4.5. Sean a,b,c,d ∈ N. Entonces P(a,b)∩P(c,d) 6= ∅ si y sólo si ha,ci| (b−d).

Demostración. Supongamos que P(a,b) ∩ P(c,d) 6= ∅. Sean x,y ∈ N tales que ax + b = cy + d. Luego b − d = cy + a(−x), por lo que b − d es una combinación lineal de a y c. Entonces, por la tercera parte del Teorema 2.3, ha,ci| (b − d).

Supongamos ahora que ha,ci | (b − d). Entonces existe z ∈ Z tal que b − d = zha,ci. Por la primera parte del Teorema 2.3, existen s,t ∈ Z tales que ha,ci = as + ct. Luego b − d = asz + ctz, de donde d + c(tz) = b + a(−sz). Por la Propiedad Arquimediana,

[Revista

existen n₁,n₂ ∈ N tales que an₁ > −tz y cn₂ > sz. Sea n = m´ax{n₁,n₂}. Entonces an + tz y cn − sz son números naturales. Además

d + c(tz) + acn = b + a(−sz) + acn, d + c(tz) + acn = d + c(tz + an) ∈ P(c,d)

y

b + a(−sz) + acn = b + a(cn − sz) ∈ P(a,b).

Luego, P(c,d) ∩ P(a,b) 6= ∅. ^X

Corolario 4.6. Sean a,b,c ∈ N. Si ha,ci = 1, entonces P(a,b) ∩ M(c) 6= ∅.

Demostración. Como M(c) = P(c,c) y ha,ci = 1, tenemos que ha,ci| (b − c). Entonces, por el Teorema 4.5, P(a,b) ∩ M(c) = P(a,b) ∩ P(c,c) 6= ∅. ^X

Teorema 4.7. Sean a,b,c,d ∈ N tales que ha,bi = hc,di = 1. Entonces P_G(a,b) ∩ P_G(c,d) 6= ∅ si y sólo si ha,ci| (b − d).

Demostración. Supongamos que P_G(a,b) ∩ P_G(c,d) 6= ∅. Entonces P(a,b) ∩ P(c,d) 6= ∅ y, por el Teorema 4.5, ha,ci| (b − d). Supongamos ahora que ha,ci| (b − d). Entonces, por el Teorema 4.5, P(a,b)∩P(c,d) 6= ∅. Como ha,bi = hc,di = 1, tenemos que P(a,b) =

P_G(a,b) y P(c,d) = P_G(c,d). Luego P_G(a,b) ∩ P_G(c,d) 6= ∅. ^X

El Teorema 4.7 aparece en la parte 2. de [12, Ejemplos 60 y 61, p. 82], y da una condición necesaria y suficiente para que dos elementos de la base B_G se intersequen. Sean a,b,c,d ∈

N tales que ha,bi = hc,di = 1. Si ha,ci6= 1 entonces, por el Teorema 4.7 ,

P_G(a,b) ∩ P_G(c,d) 6= ∅ si y sólo si b ≡ d(mód ha,ci).

Teorema 4.8. Sean a,b,c,d,e,f ∈ N. Si ha,ci = ha,ei = hc,ei = 1, entonces P(a,b) ∩ P(c,d) ∩ P(e,f) 6= ∅.

Demostración. Supongamos que a = 1. Entonces P(a,b) = {b+n: n ∈ N₀} es el conjunto de números naturales mayores o iguales a b. tales que

1 = hc,ei = cs+et. Luego d−f = (cs+et)z = csz+etz, de donde f +e(tz) = d+c(−sz). Por la Propiedad Arquimediana, existen n₁,n₂,n₃ ∈ N tales que cn₁ > −tz, en₂ > sz y cn₃ > −tz+g. Sea n = m´ax{n₁,n₂,n₃}. Entonces cn ≧ cn₁ > −tz, por lo que cn+tz ∈ N. También en ≧ en₂ > sz, de donde en − sz ∈ N. Además cn ≧ cn₃ > −tz + g, por lo que , luego e(tz + cn) > b − f, de donde f + e(tz + cn) > b. Así,

f + e(tz + cn) ∈ P(a,b). Como f + e(tz) + ecn = d + c(−sz) + ecn, tenemos que

f + e(tz) + ecn = f + e(tz + cn) ∈ P(e,f)

y d + c(−sz) + ecn = d + c(en − sz) ∈ P(c,d).

Luego f + e(tz) + ecn ∈ P(a,b) ∩ P(c,d) ∩ P(e,f), probando así que P(a,b) ∩ P(c,d) ∩ P(e,f) 6= ∅. Si c = 1 o bien e = 1, procediendo de manera similar se prueba que

P(a,b) ∩ P(c,d) ∩ P(e,f) 6= ∅. Supongamos, por tanto, que a ≧ 2, c ≧ 2 y e ≧ 2.

Consideremos el sistema de congruencias lineales

x ≡ b(mód a), x ≡ d(mód c), x ≡ f (mód e).

Como ha,ci = ha,ei = hc,ei = 1, por el Teorema Chino del Residuo (Teorema 2.11) , existe un único entero k tal que x ≡ k(mód ace). Sean l₁,l₂,l₃,l₄ ∈ Z tales que x = acel₁+k, x = al₂+b, x = cl₃+d y x = el₄+f. Luego acel₁+k = al₂+b, acel₁+k = cl₃+d y acel₁+k = el₄+f, de donde k = a(l₂−cel₁)+b, k = c(l₃−ael₁)+d y k = e(l₄−acl₁)+f. Por tanto, k ≡ b(mód a), k ≡ d(mód c) y k ≡ f (mód e).

Por la Propiedad Arquimediana, existen n₁,n₂,n₃ ∈ N tales que cen₁ > cel₁−l₂, aen₂ > ael₁ −l₃ y acn₃ > acl₁ −l₄. Entonces n = m´ax{n₁,n₂,n₃} es un número natural tal que cen + l₂ − cel₁, aen + l₃ − ael₁ y acn + l₄ − acl₁ son números naturales. Luego k + acen = (a(l₂ − cel₁) + b) + acen = a(cen + l₂ − cel₁) + b ∈ P(a,b), k + acen = (c(l₃ − ael₁) + d) + acen = c(aen + l₃ − ael₁) + d ∈ P(c,d)

y k + acen = (e(l₄ − acl₁) + f) + acen = e(acn + l₄ − acl₁) + f ∈ P(e,f).

Así, k + acen ∈ P(a,b) ∩ P(c,d) ∩ P(e,f), de donde P(a,b) ∩ P(c,d) ∩ P(e,f) 6= ∅. ^X

Como una aplicación del Teorema 4.5 tenemos el siguiente resultado, el cual aparece en [13, Lema 4.1, p. 904].

Teorema 4.9. Sean a,b,c,d ∈ N con b < a. Si P(a,b) ∩ P(c,d) 6= ∅ y a | c, entonces P(c,d) ⊂ P(a,b).

Demostración. Como P(a,b)∩P(c,d) 6= ∅, por el Teorema 4.5 ha,ci| (b−d). Sea n ∈ N tal que c = an. Entonces ha,ci = ha,ani = ah1,ni = a. Luego a | (b − d) y, como a > b ≧ 1, tenemos que b ≡ d(mód a). Notemos que a ≧ 2 y c = an implican que c ≧ 2. Sea y ∈ P(c,d). Entonces y ∈ N, c | (y − d) y, como a | c, resulta que a | (y − d). Luego y ≡ d(mód a). Ahora bien, como b ≡ d(mód a) y y ≡ d(mód a), se tiene que y ≡ b(mód a). Luego y ∈ P_F(a,b) ∩ N y, por el Teorema 2.8, y ∈ P(a,b). ^X

Como una aplicación del Teorema 4.7, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.10. Sean a,x,y ∈ N tales que x 6= y, m´ax{x,y} < a, ha,xi = ha,yi = 1. Entonces P_G(a,x) y P_G(a,y) son abiertos en (N,τ_G) tales que x ∈ P_G(a,x), y ∈ P_G(a,y) y P_G(a,x) ∩ P_G(a,y) = ∅. Además y ∈/ clN(P_G(a,x)).

Demostración. Sean c = m´ax{x,y} y d = m´ın{x,y}. Notemos que ha,ai = a y que 1 ≦ d < c < a. Como ha,xi = ha,yi = 1, P_G(a,x) y P_G(a,y) son abiertos en (N,τ_G) tales que x ∈ P_G(a,x) y y ∈ P_G(a,y). Supongamos que P_G(a,x)∩P_G(a,y) 6= ∅. Entonces, por el Teorema 4.7, a | (x−y). Esto implica que a | (c−d). Ahora bien, al ser a y c−d enteros positivos, de a | (c − d) se sigue que a ≦ c − d < c. Luego a < c, lo cual contradice la desigualdad c < a. Esto prueba que P_G(a,x)∩P_G(a,y) = ∅ y que y ∈/ clN(P_G(a,x)). ^X El siguiente resultado es consecuencia del Teorema 4.10.

Teorema 4.11. (N,τ_G) es T₂.

Demostración. Sean x,y ∈ N con x 6= y, Como P es infinito, existe p ∈ P tal que m´ax{x,y} < p. Por el Teorema 2.5, hp,xi = hp,yi = 1. Luego, por el Teorema 4.10 ,

P_G(p,x) y P_G(p,y) son abiertos en (N,τ_G) tales que x ∈ P_G(p,x), y ∈ P_G(p,y) y

P_G(p,x) ∩ P_G(p,y) = ∅. Por tanto, (N,τ_G) es T₂. ^X

Sean a,x ∈ N. En [15] Szczuka presenta algunos resultados que involucran al conjunto clN(P(a,x)). Por ejemplo, en [15, Lema 3.3, p. 16] se muestra que si x₁ ≡ x(mód a), x₁ ≦ a y ha,xi = 1, entonces P_G(a,x₁) ⊂ clN(P_G(a,x)). En [15, Lema 3.5, p. 16] se prueba que si a y x son impares y ha,xi = 1, entonces clN(P_G(a,x)) = clN(P_G(2a,x)). En el Teorema 4.10 indicamos condiciones bajo las cuales P_G(a,x) no es denso en (N,τ_G). Como consecuencia del siguiente resultado, los múltiplos de a se encuentran en clN(P_G(a,x)).

Teorema 4.12. Sean a,x ∈ N tales que ha,xi = 1. Entonces, para cada n ∈ N, M(a) ⊂ clN(P_G(aⁿ,x)).

Demostración. Sea n ∈ N. Como ha,xi = 1, por el Teorema 2.4, haⁿ,xi = 1. Tomemos ab ∈ M(a) y un abierto W en (N,τ_G) de modo que ab ∈ W. Sea d ∈ N tal que hd,abi = 1 y P_G(d,ab) ⊂ W. Si hd,aⁿi 6= 1, entonces existe p ∈ P tal que p | d y p | aⁿ. Por el Teorema 2.6, p | a. Entonces p | d y p | ab, de donde hd,abi 6= 1, una contradicción. Luego hd,aⁿi = 1 y, por consiguiente, hd,aⁿi| (ab−x). Esto implica, por el Teorema 4.7 , que P_G(d,ab)∩P_G(aⁿ,x) 6= ∅. Luego W ∩P_G(aⁿ,x) 6= ∅ y, así, ab ∈ clN(P_G(aⁿ,x)). ^X Corolario 4.13. Para cada d ∈ N, P_G(1,d) es denso en (N,τ_G).

Demostración. Sean d ∈ N y a = 1. Entonces ha,di = 1, M(a) = N y, por el Teorema 4.12, N = M(a) ⊂ clN(P_G(a,d)), así que P_G(a,d) = P_G(1,d) es denso en (N,τ_G). ^X

Por el Teorema 4.10 y el Corolario 4.13, entre los miembros B_G algunos son densos en (N,τ_G), y otros no. Es un problema abierto el caracterizar los elementos de B_G y los de la forma P(a,b), que son densos en (N,τ_G).

Teorema 4.14. Si a,b ∈ N, entonces P_F (a,b) ∩ N ⊂ clN(P(a,b)).

Demostración. Notemos que si b ≦ a, entonces por el Teorema 2.8, P_F (a,b) ∩ N = P(a,b) ⊂ clN(P(a,b)). Sea x ∈ P_F(a,b) ∩ N. Entonces existe z ∈ Z tal que x = az + b. Sean U un abierto en (N,τ_G) y c ∈ N tales que x ∈ U, hc,xi = 1 y P_G(c,x) ⊂ U. Como hc,ai | a, sucede que hc,ai | az. Luego hc,ai | (x − b) y, por el Teorema 4.5 , P_G(c,x) ∩ P(a,b) = P(c,x) ∩ P(a,b) 6= ∅. Esto prueba que x ∈ clN(P(a,b)). ^X

Sean a,b ∈ N. Notemos que

P_F(a,b) ∩ N = P(a,b) ∪{b − an ∈ N: n ∈ N}.

En otras palabras, P_F (a,b)∩ N se consigue uniéndole a P(a,b), aquellos elementos de la progresión aritmética {b − a,b − 2a,b − 3a,...} que sean mayores o iguales a uno.

El siguiente resultado aparece en la parte 10. de [12, Ejemplos 60 y 61, p. 83]. La prueba que presentamos difiere de la dada en [12].

Teorema 4.15. Sean c ∈ N y p ∈ P tales que hp,ci = 1. Entonces, para cada n ∈ N, clN(P_G(pⁿ,c)) = M(p) ∪ [P_F (pⁿ,c) ∩ N].

Demostración. Tomemos n ∈ N. Como hp,ci = 1, por el Teorema 2.4, hpⁿ,ci = 1. Por el Teorema 4.14, P_F(pⁿ,c) ∩ N ⊂ clN(P_G(pⁿ,c)), y por el Teorema 4.12, M(p) ⊂ clN(P_G(pⁿ,c)). Por tanto M(p) ∪ [P_F(pⁿ,c) ∩ N] ⊂ clN(P_G(pⁿ,c)). Para probar la otra contención, sea x ∈ clN(P_G(pⁿ,c)). Entonces x ∈ N y todo abierto básico en (N,τ_G) que tiene a x, interseca a P_G(pⁿ,c). Luego,

para cada t ∈ N con ht,xi = 1,P_G(t,x) ∩ P_G(pⁿ,c) 6= ∅. (4)

Si p | x, entonces x ∈ M(p). Consideremos, por tanto, que p ∤ x. Sea t = pⁿ. Notemos que hpⁿ,pⁿi = pⁿ. Supongamos que ht,xi = hpⁿ,xi6= 1. Entonces existe q ∈ P tal que q | pⁿ y q | x. Por el Teorema 2.6, q | p. Esto implica que q = p, por lo que p | x, un absurdo. Luego ht,xi = hpⁿ,xi = 1 y, por (4), P_G(pⁿ,x) ∩ P_G(pⁿ,c) 6= ∅. Aplicando el Teorema 4.7, deducimos que pⁿ | (x−c), de donde x ∈ P_F(pⁿ,c)∩N. Con esto probamos que clN(P_G(pⁿ,c)) ⊂ M(p) ∪ [P_F(pⁿ,c) ∩ N]. ^X

Sean c ∈ N y p ∈ P tales que hp,ci = 1. Entonces, para cada n ∈ N tal que c < pⁿ, por los Teoremas 2.8 y 4.15 tenemos que

clN(P_G(pⁿ,c)) = M(p) ∪ P_G(pⁿ,c).

Sean a,x ∈ N tales que ha,xi = 1. Es un problema abierto el describir el conjunto clN(P_G(a,x)). Por el Teorema 4.12, M(a) ∪ P_G(a,x) ⊂ clN(P_G(a,x)). Sin embargo, describir a clN(P_G(a,x)) r (M(a) ∪ P_G(a,x)) parece un problema difícil. Hasta donde se ha investigado, solo se conocen los resultados de Szczuka que hemos mencionado, los Teoremas 4.10, 4.12, 4.15 y el Corolario 4.13.

Teorema 4.16. Para cada d ∈ N, P_G(1,d) es de Brown en (N,τ_G). En particular, P_G(1,d) es conexo.

Demostración. Sean U y V dos abiertos no vacíos en P_G(1,d). Como P_G(1,d) es abierto en (N,τ_G), U y V son abiertos en (N,τ_G). Sean x ∈ U y y ∈ V. Tomemos a,b ∈ N tales que ha,xi = hb,yi = 1, P_G(a,x) ⊂ U y P_G(b,y) ⊂ V. Si a = 1, entonces P_G(a,x) =

{x+n: n ∈ N₀}. Como P_G(b,y) es infinito, existe n₀ ∈ N₀ tal que y+bn₀ ≧ x, y entonces

y + bn₀ ∈ P_G(a,x) ∩ P_G(b,y) ⊂ U ∩ V ∩ P_G(1,d)

⊂ clN(U) ∩ clN(V ) ∩ P_G(1,d) = cl_PG(1,d)(U) ∩ cl_PG(1,d)(V ).

Por tanto, cl_PG(1,d)(U) ∩ cl_PG(1,d)(V ) 6= ∅. De manera similar, si b = 1 tenemos que cl_PG(1,d)(U)∩cl_PG(1,d)(V ) =6 ∅. Ahora supongamos que a ≧ 2 y b ≧ 2. Por el Teorema 4.12 , M(a) ⊂ clN(P_G(a,x)) y M(b) ⊂ clN(P_G(b,y)). En particular, abd ∈ clN(P_G(a,x)) ∩ clN(P_G(b,y)). Como a ≧ 2 y b ≧ 2, tenemos que d < abd, así que abd ∈ P_G(1,d). Luego

abd ∈ clN(P_G(a,x)) ∩ clN(P_G(b,y)) ∩ P_G(1,d)

⊂ clN(U) ∩ clN(V ) ∩ P_G(1,d) = cl_PG(1,d)(U) ∩ cl_PG(1,d)(V ).

Por tanto, cl_PG(1,d)(U) ∩ cl_PG(1,d)(V ) 6= ∅ y, así, P_G(1,d) es de Brown en (N,τ_G). Como los espacios de Brown son conexos, P_G(1,d) es conexo. ^X

A continuación presentamos una prueba explícita de lo que M. Brown afirmó en el resumen de la plática que impartió en abril de 1953, y que comentamos en la Introducción.

Teorema 4.17. (N,τ_G) es de Brown. En particular, (N,τ_G) es conexo y no es.

Demostración. Como P_G(1,1) = N, el resultado se sigue del Teorema 4.16 y del hecho de que los espacios de Brown son conexos y no. ^X

Sería interesante caracterizar los subconjuntos de (N,τ_G) que son de Brown. En particular, caracterizar los conjuntos de la forma P_G(a,b) y/o P(a,b) que son de Brown en (N,τ_G). Como vimos en el Teorema 4.16, hay elementos de B_G que son de Brown. En el Teorema 4.18 mostramos que también hay elementos de B_G que no son de Brown.

Hemos demostrado que la conexidad del espacio (N,τ_G) es consecuencia del hecho de que es de Brown. Existen otras propiedades que implican la conexidad. Por ejemplo, un espacio topológico X es hiperconexo si todo subconjunto abierto y no vacío de X, es denso en X. Decimos que X es ultraconexo si para cada x,y ∈ X con x 6= y, se cumple que cl_X({x})∩cl_X({y}) 6= ∅. Si X es hiperconexo, entonces X no contiene dos subconjuntos abiertos, ajenos y no vacíos. Por otro lado, si X es ultraconexo, entonces X no es T₁ y, en consecuencia, tampoco T₂. Por lo tanto, todo espacio hiperconexo o ultraconexo es conexo pero no T₂. No es complicado ver que todo espacio hiperconexo o ultraconexo es de Brown. El recíproco de esta afirmación no es cierto, pues como hemos visto, (N,τ_G) es de Brown y T₂, por lo que dicho espacio no es hiperconexo ni ultraconexo.

Por [4, Teoremas 3.1.9 y 3.3.1], los espacios compactos y T₂, así como los espacios localmente compactos y T₂, son T₄ y por tanto. Entonces (N,τ_G) no es compacto ni localmente compacto. Estas observaciones también fueron hechas por Golomb en [7 , Teorema 5] y [8, Teorema 5], aunque con demostraciones distintas a las que hemos presentado. Sería interesante determinar si (N,τ_G) posee alguna propiedad de compacidad.

El siguiente resultado muestra que una buena cantidad de elementos de la forma P_G(p,c), donde p ∈ P, no son conexos en (N,τ_G). Hasta donde hemos investigado, el siguiente resultado aparece en la literatura por primera vez.

Teorema 4.18. Sean c ∈ N y p ∈ P con hp,ci = 1. Tomemos a,b ∈ P_G(p,c) tales que a < b y n,m ∈ N₀, de modo que a = pm + c,b = pn + c y 0 ≦ m < n. Entonces

son abiertos en (N,τ_G) y tales que a ∈ U, b ∈ V, U ∩ V = ∅ y P_G(p,c) = U ∪ V. En particular, P_G(p,c) no es conexo ni de Brown.

Demostración. Tomemos c,p,a,b,n y m como se indica en el teorema. Como p ∈ P y hp,ci = 1, el Teorema 2.7 garantiza que hpⁿ⁺¹,pi + ci = 1, para cada i ∈ N₀. Entonces podemos considerar los conjuntos U y V que se indican en (5), y estos son abiertos en (N,τ_G). La propiedad 1) del Teorema 3.1 asegura que U y V son conjuntos infinitos. Como 0 ≦ m < n < 2ⁿ ≦ pⁿ, tenemos que m + 1 ≦ n ≦ pⁿ − 1. Por tanto,

Es decir, a ∈ U y b ∈ V. Para verificar que U y V son ajenos, supongamos, por el contrario, que existe z ∈ U ∩ V. Sean i ∈{0,1,...,m} y j ∈{m + 1,m + 2,...,pⁿ − 1} tales que z ∈ P_G(pⁿ⁺¹,pi + c) y z ∈ P_G(pⁿ⁺¹,pj + c). Como pⁿ⁺¹ > 1, pues p es un número primo, tenemos que

z ≡ pi + c(mód pⁿ⁺¹) y z ≡ pj + c(mód pⁿ⁺¹).

La transitividad de la congruencia y los incisos 1) y 3) del Teorema 2.10 implican que pi + c ≡ pj + c(mód pⁿ⁺¹), de donde pi ≡ pj (mód pⁿ⁺¹). Luego i ≡ j (mód pⁿ). Sin embargo, como el conjunto A = {0,1,...,m,m+1,...,pⁿ−1} es un sistema completo de residuos móduloningún par de elementos distintos de A son congruentes módulo pⁿ. En particular, como i ≦ m < m+1 ≦ j, resulta que i 6 ≡j (mód pⁿ). De esta contradicción se infiere que U ∩ V = ∅.

Vamos a probar ahora que U ∪ V = P_G(p,c). Si z ∈ U, entonces existe i ∈{0,1,...,m} tal que z ∈ P_G(pⁿ⁺¹,pi + c). Tomemos z₀ ∈ N₀ de modo que z = pⁿ⁺¹z₀ + pi + c. Entonces z = p(pⁿz₀ + i) + c ∈ P_G(p,c). De manera similar, si z ∈ V, existe j ∈ {m + 1,m + 2,...,pⁿ − 1} tal que z ∈ P_G(pⁿ⁺¹,pj + c). Al tomar z₁ ∈ N₀ de modo que z = pⁿ⁺¹z₁ + pj + c, deducimos que z = p(pⁿz₁ + j) + c ∈ P_G(p,c). Esto prueba que U ∪ V ⊂ P_G(p,c).

Para probar la otra contención, sea z ∈ P_G(p,c). Entonces existe k ∈ N₀ para el cual z = pk + c. Por el Algoritmo de la División (Teorema 2.1) aplicado a k y pⁿ, existen s,t ∈ N₀ de manera que k = pⁿs + t y 0 ≦ t < pⁿ. Así obtenemos

z = pk + c = p(pⁿs + t) + c = pⁿ⁺¹s + pt + c. (6)

Como 0 ≦ t < pⁿ y 0 ≦ m < pⁿ, se sigue que

t ∈{0,1,...,pⁿ − 1} = {0,1,...,m}∪{m + 1,m + 2,...,pⁿ − 1}. Luego, de (6) ,

Esto prueba que P_G(p,c) ⊂ U ∪V y, como la otra contención también es cierta, U ∪V = P_G(p,c). Así probamos la primera parte del teorema. Ahora bien, como el conjunto P_G(p,c) ha sido escrito como la unión de dos conjuntos abiertos en (N,τ_G), que además son ajenos y no vacíos, P_G(p,c) no es conexo. Como los espacios de Brown son conexos,

P_G(p,c) no es de Brown. ^X Sean c ∈ N y p ∈ P tales que hp,ci = 1. Tomemos a,b ∈ P_G(p,c) de modo que b < a. Usando las mismas ideas que mostramos en la prueba del Teorema 4.18, se sigue que existen abiertos U y V en (N,τ_G) tales que a ∈ U, b ∈ V, U ∩ V = ∅ y P_G(p,c) = U ∪ V.

Tenemos, por tanto, el siguiente resultado.

Teorema 4.19. Sean c ∈ N y p ∈ P tales que hp,ci = 1. Tomemos a,b ∈ P_G(p,c) de modo que a 6= b. Entonces existen abiertos U y V en (N,τ_G) tales que a ∈ U, b ∈ V, U ∩V = ∅ y P_G(p,c) = U ∪ V. En otras palabras, P_G(p,c) está totalmente separado.

Como los espacios totalmente separados son hereditariamente disconexos, para cada c ∈ N y p ∈ P con hp,ci = 1 el conjunto P_G(p,c) es hereditariamente disconexo. Utilizando esto, presentamos algunas consecuencias del Teorema 4.19. Como mencionamos en la Introducción, en 1969 Kirch probó que (N,τ_G) no es localmente conexo en 1. En el siguiente teorema generalizamos este resultado.

Teorema 4.20. Para ningún d ∈ N, P_G(1,d) es conexo en pequeño, o bien casi conexo en pequeño en todos sus puntos.

Demostración. Sea d ∈ N y supongamos, por el contrario, que P_G(1,d) es conexo en pequeño, o bien casi conexo en pequeño en algún punto c ∈ P_G(1,d). Definimos un conjunto P_G(p,c) como sigue: si c es impar, sea p = 2. Si c es par, tomamos p ∈ P tal que c < p. En cualquier caso, p ∈ P, hp,ci = 1 y P_G(p,c) es un subconjunto abierto de P_G(1,d) tal que c ∈ P_G(p,c). Como P_G(1,d) es conexo en pequeño o bien casi conexo en pequeño en c, existe un subconjunto conexo C de P_G(1,d) tal que int_PG(1,d)(C) 6= ∅ y C ⊂ P_G(p,c). Al ser P_G(1,d) abierto en (N,τ_G), tenemos que intN(C) 6= ∅. Como los subconjuntos abiertos y no vacíos de (N,τ_G) son infinitos, el conjunto C es infinito. Esto contradice el hecho de que P_G(p,c) es hereditariamente disconexo. Por tanto, P_G(1,d) no es conexo en pequeño ni casi conexo en pequeño en c. ^X

Corolario 4.21. (N,τ_G) no es conexo en pequeño ni casi conexo en pequeño en ninguno de sus puntos. En particular (N,τ_G) no es localmente conexo.

Demostración. Como P_G(1,1) = N, la primera parte se sigue del Teorema 4.20. Si (N,τ_G) es localmente conexo, entonces (N,τ_G) es conexo en pequeño en cada uno de sus puntos, lo cual contradice el Teorema 4.20. ^X

Hemos visto que la base B_G posee elementos que son conexos, y también elementos que son hereditariamente disconexos. Sería interesante poder encontrar condiciones necesarias y suficientes bajo las cuales dos elementos de B_G son homeomorfos. Incluso encontrar condiciones bajo las cuales un elemento de B_G sea una imagen continua de otro elemento de B_G.

Para a ∈ N, definimos Θ(a) = {p ∈ P: p | a}. Observemos que Θ(1) = ∅. El siguiente resultado aparece en [13, Teorema 3.3]. La prueba que presentamos es diferente, e incluso más corta, a la dada en el artículo [13], pues utilizamos el Teorema 4.19.

Teorema 4.22. Sean a,b ∈ N. Entonces P(a,b) es conexo en (N,τ_G) si y sólo si Θ(a) ⊂

Θ(b). En particular,

1) M(a) es conexo en (N,τ_G) ;

2) si ha,bi = 1, entonces P_G(a,b) es conexo en (N,τ_G) si y sólo si a = 1.

Demostración. Supongamos que P(a,b) es conexo. Si Θ(a) no es un subconjunto de Θ(b), entonces a > 1 y existe p ∈ Θ(a) tal que p ∈/ Θ(b). Luego p es un número primo que divide a a pero no a b. Por tanto, hp,bi = 1. Como p | a, tenemos que P(a,b) ⊂ P_G(p,b). Del Teorema 4.19 se sigue que P_G(p,b) es hereditariamente disconexo, así que P(a,b) posee solo un elemento, lo cual es una contradicción. Esto prueba que Θ(a) ⊂ Θ(b).

Ahora supongamos que Θ(a) ⊂ Θ(b). Si P(a,b) no es conexo, entonces existen dos subconjuntos no vacíos O₁ y O₂ de P(a,b), abiertos en el subespacio P(a,b) de (N,τ_G) y tales que P(a,b) = O₁ ∪ O₂ y O₁ ∩ O₂ = ∅. Sean U₁ y U₂ abiertos en (N,τ_G) tales que O₁ = U₁ ∩ P(a,b) y O₂ = U₂ ∩ P(a,b). Consideremos b₁ ∈ O₁ y b₂ ∈ O₂. Como b₁ ∈ U₁, b₂ ∈ U₂ y tanto U₁ como U₂ son abiertos en (N,τ_G), existen a₁,a₂ ∈ N tales que ha₁,b₁i = ha₂,b₂i = 1, P_G(a₁,b₁) ⊂ U₁ y P_G(a₂,b₂) ⊂ U₂.

Vamos a probar que ha,a₁i = 1. Para esto, supongamos que ha,a₁i6= 1. Entonces existe p ∈ P tal que p | a y p | a₁. Luego p ∈ Θ(a) y, como Θ(a) ⊂ Θ(b), tenemos que p ∈ Θ(b). Luego p | b y p | a₁. Ahora bien, como b₁ ∈ O₁ ⊂ P(a,b), existe n₁ ∈ N tal que b₁ = an₁ + b. En vista de que a y b son múltiplos de p, de la igualdad b₁ = an₁ + b, se sigue que p | b₁. Luego p | a₁ y p | b₁, de donde p |ha₁,b₁i, es decir p | 1. Esto es un absurdo, luego ha,a₁i = 1. De manera similar, se prueba que ha,a₂i = 1. Luego, por el Corolario 4.6 ,

P(a,b) ∩ M(a₁) 6= ∅ y P(a,b) ∩ M(a₂) 6= ∅.

Ahora vamos a probar que P(a,b) ∩ M(a₁) ⊂ O₁. Tomemos un elemento d ∈ P(a,b) ∩ M(a₁). Como P(a,b) = O₁ ∪ O₂, tenemos que d ∈ O₁ o bien d ∈ O₂. Supongamos que d ∈ O₂. Entonces d ∈ U₂ y, como U₂ es abierto en (N,τ_G), existe c ∈ N tal que hc,di = 1 y P_G(c,d) ⊂ U₂. Si existe p ∈ P tal que p | c y p | a₁, entonces, como d es un múltiplo de a₁ y p | a₁, tenemos que p | d. Luego p | c y p | d, de donde p |hc,di, es decir p | 1. Esto es absurdo, así que hc,a₁i = 1. Ahora supongamos que existe p ∈ P tal que p | a y p | c. Como Θ(a) ⊂ Θ(b) y p ∈ Θ(a), tenemos que p ∈ Θ(b). Luego p | b y, en vista de que d ∈ P(a,b) y tanto a como b son múltiplos de p, tenemos que p | d. Entonces p | c y p | d, de donde p |hc,di. Así p | 1, lo cual es absurdo. Esto prueba que ha,ci = 1.

Notemos que a,c, y a₁ son números naturales tales que ha₁,ci = ha₁,ai = hc,ai = 1.

Entonces, por el Teorema 4.8, P_G(a₁,b₁) ∩ P_G(c,d) ∩ P(a,b) 6= ∅. Esto implica que

∅6= P(a₁,b₁) ∩ P_G(c,d) ∩ P(a,b) ⊂ U₁ ∩ U₂ ∩ P(a,b)

= (U₁ ∩ P(a,b)) ∩ (U₂ ∩ P(a,b) = O₁ ∩ O₂.

Luego O₁ ∩ O₂ 6= ∅, lo cual es una contradicción. Entonces d ∈ O₁, probando con esto que P(a,b)∩M(a₁) ⊂ O₁. De manera similar se prueba que P(a,b)∩M(a₂) ⊂ O₂. Como ha,a₁i = ha,a₂i = 1, por el Teorema 2.4, ha,a₁a₂i = 1. Luego, por el Corolario 4.6 , P(a,b) ∩ M(a₁a₂) 6= ∅. Ahora bien, notemos que

∅6= P(a,b) ∩ M(a₁a₂) ⊂ (P(a,b) ∩ M(a₁)) ∩ (P(a,b) ∩ M(a₂)) ⊂ O₁ ∩ O₂.

Esto contradice el hecho de que O₁ ∩ O₂ = ∅. Dicha contradicción proviene de suponer que P(a,b) no es conexo. Por tanto, P(a,b) es conexo.

[Revista

Para probar 1), notemos que M(a) = P(a,a) y, como Θ(a) ⊂ Θ(a), por la primera parte del teorema M(a) es conexo en (N,τ_G).

Para probar 2) supongamos primero que ha,bi = 1 y que P_G(a,b) es conexo. Entonces, por la primera parte del teorema, Θ(a) ⊂ Θ(b). Si a ≧ 2, entonces existe p ∈ P tal que p | a, por lo que también p | b, contradiciendo que ha,bi = 1. Luego a = 1. El recíproco se sigue del Teorema 4.16. ^X

A continuación presentamos un resultado que pertenece a la Teoría Analítica de Números, y es llamado el Teorema de Dirichlet.

Teorema 4.23. Sean a,b ∈ N con a > 1 y ha,bi = 1. Entonces existe una cantidad infinita de números primos p, para los cuales p ≡ b(mód a).

La prueba del Teorema de Dirichlet utiliza propiedades de ciertas funciones multiplicativas, y varios resultados sobre aritmética de números complejos. En vista de que es bastante dispendiosa, no suele incluirse en textos clásicos de Teoría de Números. Una prueba detallada se puede consultar en [1, Sección 7.3, p. 148].

Sean a,b ∈ N con a > 1 y ha,bi = 1. Tomemos p ∈ P. Notemos que p ≡ b(mód a) si y sólo si p ∈ P_F (a,b) ∩ P. Por tanto, en términos de los elementos de la base B_F de τ_F el Teorema de Dirichlet dice que si a,b ∈ N son tales que a > 1 y ha,bi = 1, entonces el conjunto P_F (a,b) ∩ P es infinito. Si a = 1, entonces P_F (a,b) ∩ P es infinito, pues P_F (a,b) = P_F (1,b) = Z y, por tanto, P_F(a,b)∩P = P es infinito (Teorema 4.3). Tenemos entonces que

(⋆) si a,b ∈ N y ha,bi = 1, entonces P_F(a,b) ∩ P es infinito.

Utilizaremos (⋆) para probar que, en el espacio (Z,τ_F ), la cerradura del conjunto P₀ = {±p: p ∈ P} es P₀ ∪{−1,1}. Los elementos de P₀ se llaman enteros primos.

Teorema 4.24. cl₍Z_,τF)(P₀) = P₀ ∪{−1,1}.

Demostración. Sea b ∈ Z r {−1,0,1}. Hagamos a = 2|b|, donde |b| es el valor absoluto de b. Entonces |b| = b si b ≧ 0, mientras que |b| = −b si b < 0. Por esta razón, podemos decir que |b| = ±b. Ahora bien, x ∈ P_F(a,b) si y sólo si existe n ∈ Z tal que

x = an + b = 2|b|n + b = ±2bn + b = b(1 ± 2n).

Como b ∈ Zr{−1,0,1}, el producto b(1±2n) es un entero primo si y sólo si n = 0, caso en el cual dicho número coincide con b. Por tanto,

Esto muestra que si b ∈ Zr{−1,0,1} y, además, b ∈/ P₀, entonces P_F(2|b|,b) es un abierto en (Z,τ_F ) que tiene a b y no interseca a P₀. Luego, b ∈/ cl₍Z_,τF)(P₀). Naturalmente P₀ ⊂ cl₍Z_,τF)(P₀), por lo que, para determinar cl₍Z_,τF)(P₀), solo debemos verificar si contiene los enteros −1,0 y 1. Notemos que P_F(4,0) es un abierto en (Z,τ_F ) que tiene a 0. Como P_F(4,0) = {4z: z ∈ Z} es el conjunto de los enteros que son múltiplos de 4 , resulta que P_F (4,0)∩P₀ = ∅. Luego 0 ∈/ cl₍Z_,τF)(P₀). Consideremos ahora un abierto U en (Z,τ_F ) tal que 1 ∈ U. Entonces existe c ∈ N tal que P_F (c,1) ⊂ U. Como hc,1i = 1, por (⋆) P_F (c,1)∩P 6= ∅. En particular U ∩P₀ 6= ∅. Esto prueba que 1 ∈ cl₍Z_,τF)(P₀). De manera similar se prueba que −1 ∈ cl₍Z_,τF)(P₀). Por consiguiente, cl₍Z_,τF)(P₀) = P₀∪{−1,1}. ^X

Corolario 4.25. cl₍Z_,τF)(P) = P ∪{−1,1} y cl₍N_,(_τF)_N)(P) = P ∪{1}, donde (τ_F )N es la topología relativa de (Z,τ_F ) a N.

Demostración. Como P ⊂ P₀, por el Teorema 4.24 ,

P ⊂ cl₍Z_,τF)(P) ⊂ cl₍Z_,τF)(P₀) = P₀ ∪{−1,1}.

Por tanto, para determinar cl₍Z_,τF)(P), debemos verificar si contiene los enteros −1,1 y los de la forma −p, donde p ∈ P. Sea U un abierto en (Z,τ_F ) tal que 1 ∈ U. Entonces existe c ∈ N tal que P_F (c,1) ⊂ U. Como hc,1i = 1, por (⋆) P_F (c,1) ∩ P 6= ∅. En particular, U ∩ P 6= ∅. Esto prueba que 1 ∈ cl₍Z_,τF)(P). De manera similar se prueba que −1 ∈ cl₍Z_,τF)(P). Supongamos ahora que p ∈ P. Notemos que x ∈ P_F(3p,−p) si y sólo si existe n ∈ Z tal que x = 3pn − p = p(3n − 1). Como p ∈ P para ningún n ∈ Z, el producto p(3n − 1) es un número primo. Por tanto, P_F(3p,−p) es un abierto en (Z,τ_F ) tal que −p ∈ P_F (3p,−p) y P_F (3p,−p)∩P = ∅. Luego, −p ∈/ cl₍Z_,τF)(P). Esto prueba que cl₍Z_,τF)(P) = P ∪{−1,1}. Para probar la segunda parte, notemos que cl₍N_,(τF)N)(P) = cl₍Z_,τF)(P) ∩ N = (P ∪{−1,1})∩ N = P ∪{1}. ^X

En el Corolario 4.25 indicamos que la cerradura de P en el espacio (N,(τ_F )N) es P∪{1}, por lo que P no es denso en (N,(τ_F )N). Como mostramos en el Teorema 4.28, P es denso en (N,τ_G). Para probar esto necesitamos unos resultados previos.

Teorema 4.26. Las siguientes afirmaciones son equivalentes:

1) para cada P_G(a,b) ∈B_G, P_G(a,b) ∩ P es infinito;

2) para cada P_G(a,b) ∈B_G, existe n ∈ N tal que an + b ∈ P.

Demostración. Es claro que 1) implica 2). Supongamos ahora que 2) se cumple. Sea P_G(a,b) ∈B_G. Por 2), existe n₁ ∈ N tal que an₁+b ∈ P. Como a < an₁+b y an₁+b ∈ P, por el Teorema 2.5 ha,an₁+bi = 1. Entonces P_G(a,an₁+b) ∈B_G y, por 2), existe n₂ ∈ N tal que an₂+(an₁+b) = a(n₂+n₁)+b ∈ P. Entonces P_G(a,b) contiene por lo menos dos números primos, a saber an₁+b y a(n₂+n₁)+b. Como a < a(n₂+n₁)+b y a(n₂+n₁)+b ∈ P, por el Teorema 2.5 ha,a(n₂ + n₁) + bi = 1. Por tanto, P_G(a,a(n₂ + n₁) + b) ∈ B_G y, por 2), existe n₃ ∈ N tal que an₃ + a(n₂ + n₁) + b = a(n₃ + n₂ + n₁) + b ∈ P.

Entonces P_G(a,b) contiene por lo menos tres números primos, a saber an₁, a(n₂+n₁)+b y a(n₃ + n₂ + n₁) + b. Continuando de esta manera, resulta que el conjunto P_G(a,b) contiene una cantidad infinita de números primos. Esto muestra que 2) implica 1). ^X

El Teorema de Dirichlet (Teorema 4.23) se puede enunciar en términos de elementos de la base B_G. Dado P_G(a,b) ∈B_G, con a > 1, el Teorema de Dirichlet asegura que P_G(a,b) contiene una cantidad infinita de números primos. Si a = 1 y b ∈ N, entonces ha,bi = 1 y P_G(a,b) = {b,b + 1,b + 2,...} contiene una cantidad infinita de números primos. Por tanto, para cada P_G(a,b) ∈B_G se tiene que P_G(a,b) contiene una cantidad infinita de números primos. Con esta observación será más práctico probar la siguiente equivalencia.

[Revista

Teorema 4.27. El Teorema de Dirichlet es equivalente a afirmar que P es denso en (N,τ_G).

Demostración. Supongamos que el Teorema de Dirichlet es cierto. Para ver que P es denso en (N,τ_G), sea U un abierto no vacío en (N,τ_G). Tomemos b ∈ U y a ∈ N de modo que ha,bi = 1 y P_G(a,b) ⊂ U. Como el Teorema de Dirichlet es válido, P_G(a,b) contiene una cantidad infinita de números primos. En particular P_G(a,b)∩P 6= ∅. Luego U ∩ P 6= ∅. Esto prueba que P es denso en (N,τ_G).

Ahora supongamos que P es denso en (N,τ_G). Sean P_G(a,b) ∈B_G y c ∈ P_G(a,b) tales que c 6= b. Por la parte 2) del Teorema 3.1, ha,ci = 1 y P_G(a,c) ⊂ P_G(a,b). Como P_G(a,c) es un abierto no vacío en (N,τ_G) y P es denso en (N,τ_G), sucede que P_G(a,c)∩P 6= ∅. Esto implica que existe n ∈ N tal que an+b ∈ P y, por el Teorema 4.26, P_G(a,b) contiene una cantidad infinita de números primos. Por tanto, el Teorema de Dirichlet se cumple. ^X

El Teorema 4.27 indica que una afirmación aritmética (el Teorema de Dirichlet, en este caso) es equivalente a una afirmación topológica (que P es denso en (N,τ_G)). Como el Teorema de Dirichlet es cierto, por el Teorema 4.27, tenemos el siguiente resultado.

Teorema 4.28. P es denso en (N,τ_G).

Si podemos probar el Teorema 4.28, sin utilizar el Teorema de Dirichlet, posiblemente usando solamente argumentos topológicos, entonces por el Teorema 4.27 tendremos una demostración, en este caso topológica, del Teorema de Dirichlet. Como ya indicamos, la prueba que se conoce del Teorema de Dirichlet es compleja, por lo que resulta interesante saber si se pueden dar demostraciones alternativas y menos complicadas. Tanto en [7] como en [8], Golomb pregunta si es posible probar el Teorema 4.28, sin utilizar el Teorema de Dirichlet. Hasta donde sabemos, el problema permanece abierto.

El siguiente resultado asegura que P tiene interior vacío. En particular, P no es abierto en (N,τ_G).

Teorema 4.29. No existe un abierto no vacío U en (N,τ_G) tal que U ⊂ P.

Demostración. Supongamos que existe un abierto no vacío U en (N,τ_G) tal que U ⊂ P. Tomemos b ∈ U y a ∈ N de manera que ha,bi = 1 y P_G(a,b) ⊂ U. Entonces cada miembro de P_G(a,b) es un número primo. En particular, b ≧ 2 y el elemento a(a + b + 1) + b, de P_G(a,b), es primo. Sin embargo, como a + 1 ≧ 2, a + b ≧ 3 y a(a + b + 1) + b = a(a + 1) + ab + b = a(a + 1) + b(a + 1) = (a + 1)(a + b) ;

así, el número a(a + b + 1) + b es compuesto. De esta contradicción deducimos que no existe un abierto no vacío U en (N,τ_G) tal que U ⊂ P. ^X

Un espacio topológico X es homogéneo si para cada x,y ∈ X existe un homeomorfismo f : X → X tal que f(x) = y. Es un problema abierto el determinar si (N,τ_G) es homogéneo.

7. Agradecimientos

Los autores agradecen las correcciones sugeridas por el árbitro pues, gracias a ellas, se cuenta ahora con lo que consideramos una mejor versión del presente trabajo, el cual ha sido apoyado parcialmente por la Asociación Mexicana de Cultura A. C.

8. Referencias

Apostol T.M., Introduction to Analytic Number Theory, Springer Verlag, New YorkHeidelberg, 1976.

Brown M., “A countable connected Hausdorff space”, in The April Meeting in New York, Bull. Amer. Math. Soc. 59 (1953), No. 4, 367.

Clark P.L., Lebowitz-Lockard N. and Pollack P., “A note on Golomb topologies”, Preprint.

Engelking R., General Topology, Revised and Completed Edition, Sigma Series in Pure Mathematics Vol.6. Heldermann Verlag, Berlin, 1989.

Fine B. and Rosenberger G., Number Theory. An Introduction via the Density of Primes, Second Edition, Birkhäuser, 2016.

Furstenberg H., “On the infinitude of primes”, Amer. Math. Monthly 62 (1955), No. 5, 353.

Golomb S.W., “A connected topology for the integers”, Amer. Math. Monthly 66 (1959) , No 8, 663–665.

Golomb S.W., “Arithmetica topologica”, General Topology and its Relations to Modern Analysis and Algebra, Proceedings of the Symposium held in Prague in September 1961.

Academia Publishing House of the Czechoslovak Academy of Sciences, Prague, 1962, 179 – 186.

Kirch A.M., “A countable, connected, locally connected Hausdorff space”, Amer. Math. Monthly 76 (1969), No. 2, 169–171.

Margalef Roig J., Outerelo Domínguez E. and Pinilla Ferrando J.L., Topología, Editorial Alhambra, Madrid, 1979.

Niven I., Zuckerman H.S. and Montgomery H.L., An Introduction to the Theory of Numbers, Fifth Edition, John Wiley and Sons, Inc., New York, Chichester, Brisbane, Toronto, Singapore, 1991.

Steen L.A. and Seebach Jr. J.A., Counterexamples in Topology, Reprint of the Second (1978) Edition Original Springer-Verlag, New York. Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 1995.

Szczuka P., “The connnectedness of arithmetic progressions in Furstenberg’s, Golomb’s and Kirch’s topologies”, Demonstratio Math. 43 (2010), No. 4, 899–909.

Szczuka P., “Connections between connected topological spaces on the set of positive integers”, Cent. Eur. J. Math. 11 (2013), No. 5, 876–881.

Szczuka P., “Regular open arithmetic progressions in connected topological spaces on the set of positive integers”, Glas. Mat. Ser. III 49(69)(2014), No. 1, 13–23.

[Revista

Szczuka P., “The closures of arithmetic progressions in the common division topology on the set of positive integers”, Cent, Eur. J. Math. 12 (2014), No. 7, 1008–1014.

Szczuka P., “The closures of arithmetic progressions in Kirch’s topology on the set of positive integers”, Int. J. Number Theory 11 (2015), No. 3, 673–682.

Szczuka P., “Properties of the division topology on the set of positive integers”, Int. J. Number Theory 12 (2016), No. 3, 775–785.

Willard S., General Topology, Reprint of the 1970 Original Addison-Wesley, Rending, MA. Dover Publications, Inc., Mineola, New York, 2004.