Imágenes de Gray de códigos consta-cíclicos sobre anillos de Galois R de índice de nilpotencia 3

1. Introducción

En la actualidad los anillos de Galois han adquirido notoriedad en las áreas de la teoría de códigos (cf. [1], [8], [11], [15], [18]) y la criptografía (cf. [3], [14]), entre otras. La teoría de códigos y la criptografía inmersas en las Matemáticas y en otras disciplinas tales como las ciencias de la computación e ingeniería eléctrica, están enfocadas en la optimización de la fiabilidad y seguridad de las comunicaciones digitales. A grandes rasgos, la fiabilidad significa corrección de errores mientras que la seguridad significa prevenir el acceso no autorizado de intrusos.

La teoría de códigos algebraicos sobre anillos finitos conmutativos con identidad adquirió relevancia con los trabajos de Nechaev [13] y Hammons et. al., [7]. Los anillos de Galois, al pertencer a esta familia de anillos, también han tenido una participación activa en el desarrollo de esta teoría (cf. [8], [11], [12] y [18]).

En el presente artículo estudiamos una forma de operar las µ-reducciones de las componentes p-ádicas de los elementos del anillo de Galois R = GR (p ³ , m) y un isomorfismo entre éste y el anillo truncado de vectores de Witt de longitud 3, W₃( _pm), para posteriormente a través de la isometría de Gray, dar condiciones necesarias y suficientes para que la imagen bajo la función de Gray de un R-código consta-cíclico sea un _pm-código cuasi-cíclico.

En la Sección 2 revisamos los anillos de Galois (cf. [17]), el enfoque está centrado principalmente en las propiedades básicas y una caracterización de los mismos. En la Sección 3, examinamos el formalismo de la construcción del anillo de vectores de Witt, para tal propósito nos basamos en [6] y [9]. Después, en la Sección 4, comentamos el isomorfismo entre los anillos de Galois de índice de nilpotencia n y el anillo truncado de vectores de Witt de longitud n dado en [16]. Posteriormente, en la Sección 5, se presentarán fórmulas para las µ-reducciones de las componentes p-ádicas de la adición en R y el producto de un elemento arbitrario de R con una unidad de la forma λ = 1 − p ² . Finalmente, en la Sección 6, establecemos condiciones necesarias y suficientes para que la imagen bajo la función de Gray de un R-código consta-cíclico sea cuasi-cíclica sobre _pm.

2. Anillos de Galois

Los anillos de Galois son extensiones únicas del anillo de clases residuales _ps =/p^s con s un entero positivo y p un número primo. Estos anillos (en particular ₄) resultaron de importancia en los años 90, en el estudio de la caracterización de la estructura algebraica de los códigos cíclicos lineales sobre ₄. En [7] Hammons et. al., demostraron que el código de Kerdock, es la imagen de Gray de un código cíclico lineal extendido sobre ₄ (un análogo en ₄ de los códigos de Reed-Muller de primer orden); más aún, se demostró que los códigos de Preparata son a su vez análogos en ₄ a los códigos extendidos de Hamming. A partir de estos trabajos, los anillos finitos de cadena (a los cuales pertenecen los anillos de Galois) cobraron importancia en la teoría de códigos algebraicos (cf. [2], [4]).

Una particularidad que acompaña a los anillos de Galois (y que les da su nombre) son las múltiples similitudes con los campos finitos (cf. [10]). A continuación revisaremos los conceptos y propiedades principales de estos anillos.

Sean s un entero positivo y p un número primo. Denotamos por _ps =/p^s el anillo de clases residuales módulo p^s , _ps [x] el anillo de polinomios en la indeterminada x con coeficientes en _ps y denotamos al ideal principal {p1} mediante (p). Definimos las funciones:

Se tiene que µ, son homomorfismos sobreyectivos llamados µ-reducción y µˆ-reducción respectivamente. Puede apreciarse que µˆ es una extensión natural de µ sobre el anillo de polinomios _ps [x]. Un polinomio mónico f(x) ∈ _ps [x] será llamado básico irreducible (resp. básico primitivo) si µˆ(f(x)) ∈ _p[x] es irreducible (resp. primitivo).

Definición 2.1. Sea p un número primo. Un anillo finito R, conmutativo con identidad 1, es un anillo de Galois, si el conjunto de sus divisores de cero D, con el cero añadido, forman un ideal principal generado por 0 o por p1.

Ejemplo 2.2. Algunos ejemplos de anillos de Galois son:

1. Los campos finitos pues D = ∅, así D ∪ {0} = (0).

2. El anillo de clases residuales _ps con D ∪ {0} = (p).

Sea R un anillo de Galois, entonces contiene un subanillo isomorfo a _ps el cual denotaremos por Z_ps = {n1 : n ∈} y todos sus ideales son de la forma p^k con k ∈ {0, 1, . . . , s}, formando la cadena

Obsérvese que el ideal principal (p) es el único ideal maximal de R, es decir, R es un anillo local y su campo residual RF = R/(p) es isomorfo a _pm para algún entero positivo m. Un teorema de caracterización para los anillos de Galois es el siguiente:

Teorema 2.3. Dados enteros positivos p, m, s con p un número primo, existe un polinomio básico primitivo h(x) en _ps [x] de grado m y:

Las unidades del anillo R forman un grupo multiplicativo en el cual existe un elemento ¹ ξ de orden p^m − 1 y que es raíz del polinomio h(x). El conjunto T = 0, 1, ξ, . . . , ξ^pm−2 es llamado conjunto de Teichmuller y está constituido por representantes del campo residual RF en el anillo de Galois. En [17] se demuestra que cada elemento c ∈ R tiene una única representación p-ádica dada por:

donde ρi(c) ∈ T con 0 ≤ i ≤ s − 1. También, cada elemento de R, posee una única representación de la forma:

con ci ∈ _ps para 0 ≤ i ≤ m − 1, llamada representación aditiva. Dicha representación es de suma utilidad cuando se desea trabajar con morfismos sobre el anillo de Galois R en particular resulta conveniente para definir el automorfismo generalizado de Frobenius: Θ : R → R el cual es un automorfismo que fija a los elementos del subanillo _ps en R y está dado por:

Éste es un análogo al automorfismo de Frobenius en campos finitos

el cual fija a los elementos del subcampo primo de _q (cf. [10]). A su vez, Θ genera un grupo cíclico con la composición de funciones llamado grupo de Galois de R sobre _ps , denotado por Gal(R/ _ps ). Cuando consideramos a los elementos de R como en (2) denotamos R = _ps [ξ]

El lector puede ampliar su visión de los anillos de Galois y sus importantes conexiones con los campos finitos haciendo una lectura de [17].

3. Anillo de vectores de Wit

Existen diversas variantes de la construcción del anillo de vectores de Witt. Ernst Witt introdujo el concepto de los vectores que llevan su nombre en 1936 mientras estudiaba las extensiones p-abelianas a través de los trabajos de los precursores A. A. Albert, ArtinSchreier y Kummer. En este apartado seguiremos la construcción de estos vectores y su correspondiente anillo como se hace en [6] y [9]

Sean Q =[xi , yj , zk] el anillo de polinomios en las 3n indeterminadas xi , yj , zk para 1 ≤ i, j, k ≤ n, = {0, 1, 2, . . .} y Q^N el anillo de las sucesiones infinitas de elementos de Q, a = (a_ν) para ν ≥ 0. De manera similar,[xi , yj ] representa el subanillo de Q formado por los polinomios en las 2n indeterminadas xi , yj donde 1 ≤ i, j ≤ n. Note que Q^N tiene las operaciones de suma y producto componente a componente, y los elementos (0) = (0, 0, . . . , 0, . . .), (1) = (1, 1, . . . , 1 . . .), son los neutros de las operaciones suma y producto, respectivamente.

Dados a = (a₀, a₁, . . . , a_ν−1, a_ν, . . .) ∈ Q^N una sucesión y p un número primo, denotaremos mediante P(a) a la sucesión:

y para cada ν ∈ definimos la siguiente relación de recurrencia:

Desarrollando (5) para los primeros valores de ν ≥ 1 tenemos:

A continuación dotaremos a Q^N con nuevas operaciones de suma y producto, para esto es necesario introducir dos funciones:

Definición 3.1. Sean a, b ∈ Q^N. Definimos las siguientes funciones:

donde:

Existe una relación importante entre las funciones ϕ y ψ la cual se presenta a continuación:

Lema 3.2. La función ϕ es una biyección y ϕ ⁻¹ = ψ.

Demostración. Sea a = (a₀, a₁, . . . , a_n−1, . . .) ∈ Q^N, entonces:

Demostraremos por inducción el resultado. Para ver que c_i = a_i para i ∈ {0, 1, . . .}, el caso i = 0 resulta trivial por (5). Supongamos que para cada i < n − 1, c_i = a_i , así por (6):

de ahí que:

Por otro lado, si b= (b₀, b₁, . . . , b_n−1, . . .), entonces

Veamos que c ⁽ⁱ⁾ = b_i para cada i ∈ {0, 1, . . .}, por (5) se tiene que c₀ = b₀. Supongamos que para i < n − 1, c ⁽ⁱ⁾ = b_i , sustituyendo c_n−1 según (5) tenemos:

Así

La función ϕ resulta de gran utilidad para nuestro objetivo. Ahora podemos definir las nuevas operaciones en Q como sigue

Como consecuencias del Lema 3.2 tenemos las relaciones:

Ahora, de la definición de ϕ, si c = a ⊕ b y d = a b, entonces:

por consiguiente, para cada ν ≥ 0:

Observese que de (5), cada a ^(ν) es una expresión polinomial con coeficientes racionales en las componentes a₀, a₁, . . . , a_ν, omitiendo todas aquellas cuyo subíndice es mayor que ν. De manera análoga, para las expresiones en (10) existe, a su vez, para cada una de éstas una expresión polinomial con coeficientes racionales en a_i , b_j con i, j ∈ {0, 1, . . . ν} que las representa.

Definición 3.3. El anillo W(Q) = (Q^N, ⊕,) es llamado, anillo de vectores de Witt.

Proposición 3.4. W(Q) es un anillo conmutativo con identidad.

Demostración. Resulta claro que las operaciones son cerradas, veamos que los elementos neutros de las operaciones definidas en (7) son (0, 0, . . . , 0, . . .) y (1, 0, . . . , 0, . . .) respectivamente. Sea a = (a₀, a₁, . . . , a_n−1, . . .), entonces:

Como ϕ((1, 0, . . . , 0, . . .)) = (1, 1, . . . , 1, . . .), tenemos que:

El resto de las propiedades de anillo pueden demostrarse usando las ecuaciones (8),(9) y (10). Por ejemplo:

y así por el Lema 3.2, (a ⊕ b) c = (a c) ⊕ (b c).

En lo sucesivo, denotaremos a los neutros de ⊕ y mediante 0 y 1, respectivamente.

Ahora, presentaremos algunos resultados que nos serán de ayuda en la construcción del anillo de vectores de Witt sobre anillos más generales.

Lema 3.5. Sean m ≥ 1, 0 ≤ i, j, k ≤ m −1, a = (a_ν ), b = (b_ν ) elementos de Q^N tales que a_ν, b_ν ∈ [x_i , y_j ] con 0 ≤ ν ≤ m − 1. Entonces:

si, y solo si;

Demostración. (cf.[6, Lemma 1])

Lema 3.6. Sean φ(x) = c₀ + c_1x + . . . + crx r ∈[x], r ∈ y p un número primo. Entonces (φ(x))^p ≡(x p ) (mód p) donde (t) ∈[t].

Demostración. Hagamos inducción en r. Para r = 1 tenemos que φ(x) = c₀ + c_1x . Es claro que:

Luego, (φ(x))^p − = (c₀) ^p−j (c_1x ) ^j y p |si 1 ≤ j ≤ p − 1. Note que si elegimos(t) =, entonces (φ(x))^p ≡(x^p ) (mód p)

Supongamos que el grado de φ es menor que r, así, el resultado es válido y sea φ(x) = c₀ + c_1x + . . . + c_rx^r . Por lo tanto, f(x) = φ(x) − c_rx^r ∈[x] es un polinomio de grado menor que r. De la hipótesis inductiva tenemo

donde (t) ∈[t]. Más aún, como (φ(x) − c_rx^r )^p = (f(x))^p , entonc

Por otro lado, es fácil ver que procediendo como antes, obtenemos que (φ(x) − c_rx^r )^p ≡ (φ(x))^p − c^p _rx^pr (mód p). Luego, combinando esto con (11) concluim

Definamos(t) =(t) + c^p _rt^r y de lo anterior se sigue el resultad

Este resultado puede extenderse de manera natural por inducción a polinomios en múltiples variables x₁, x₂, . . . , x_k para k un entero positivo como sigu

Corolario 3.7. Sean f() ∈[] y p un número primo. Entonces (f())^p ≡( p ) (mód p) para algún (t) ∈[t], donde f() := f(x₁, x₂, . . . , x_k),( ^p ) :=(x^p ₁ , x^p ₂ , . . . , x^p _k ) y[] :=[u₁, u₂, . . . , u_k] para u = x o u =

Ahora, aplicando los resultados anteriores estableceremos una caracterización de las operaciones de dos elementos en W(Q) bajo ⊕ y , lo cual es de sumo interés para lograr nuestro objetiv

Teorema 3.8. Sean a, b ∈ W(Q). Si a ◦ b representa a ⊕ b o a b y a b representa a + b ó a · b, según sea el caso, entonces (a o b)ν = f_ν(a_i , b_j ) donde f _ν(x_i , y _j ) ∈[x_i , y_j ] es un polinomio con coeficientes enteros y término constante 0 en las variables x_i , y_j con i, j corriendo en el conjunto {0, 1, . . . , ν}

Demostración. Sean a, b ∈ W(Q), entonces (a o b) = ((a o b)₀, . . . ,(a o b)_ν−1,(a o b)_ν, . . .) y para cada ν ≥ 0; (a o b)_ν = fν(a_i , b_j ), para algún fν(x_i , y_j ) ∈[x_i , y_j ]. Veamos mediante inducción sobre ν que fν(x_i , y_j ) ∈[x_i , y_j ]. Si ν = 0, por (5) y (10), tenemos que (a o b)₀ = (a o b) ⁽⁰⁾ = a ⁽⁰⁾ b ⁽⁰⁾ = a₀ b₀ = f₀(a₀, b₀) donde f₀(x_i , y_j ) = 1x_i 1y_j ∈[x_i , y_j ] y se sigue el resultado. Supongamos que (a o b)_k = g_k(a_i , b_j ) para algún g_k(x_i , y_j ) ∈[x_i , y_j ] siempre que k es tal que 0 ≤ k ≤ ν − 1. Por (5) tenemos que

y también:

Por otro lado, P((a o b)_k) = (a o b) ^p _k = (g_k(a_i , b_j ))^p y además, por el Corolario 3.7, existe f_k(x_i , y_j ) ∈[x_i , y_j ] tal que:

Se sigue de lo anterior ² que:

En particular para ν − 1, por el Lema 3.5:

Por (5) tenemos que a ^(ν) ≡ (P(a))^(ν−1) (mód p ^ν ) y b ^(ν) ≡ (P(b))^(ν−1) (mód p ^ν ), y por (10) se tiene que (a o b) ^(ν) = a ^(ν) b ^(ν) , por consiguiente:

y como (P(a))^(ν−1) (P(b))^(ν−1) ≡ (P(a) o P(b))^(ν−1) (mód p ^ν ) tenemos que:

Se sigue que p ^ν |[(a ◦ b) ^(ν) − (P(a o b))^(ν−1)], i.e., p ^ν es un factor de la diferencia de las evaluaciones polinomiales que corresponden a (a o b) ^(ν) y (P(a o b))^(ν−1). Por la hipótesis inductiva existe un polinomio g_ν(x_i , y_j ) ∈[x_i , y_j ] tal que:

y por lo anterior g_ν(x_i , y_j ) ∈ p^ν [x_i , y_j ], de ahí que existe f_ν(x_i , y_j ) ∈[x_i , y_j ] tal que g_ν(x_i , y_j ) = p ^νf_ν(x_i , y_j ). Finalmente, de (12) tenemos que el polinomio g_ν(x_i, y_j ) es tal que p ^ν (a o b)^ν = g_ν(a_i , b_j ) = p ^νf_ν(a_i , b_j ) y dado que f_ν(x_i , y_j ) ∈[x_i , y_j ] esto concluye la demostración.

En virtud del teorema anterior podemos denotar en lo sucesivo para (a_ν),(b_ν) ∈ W(Q) :

donde s_ν, m_ν ∈[x_i , y_j ] para ν ≥ 0 y 0 ≤ i, j ≤ ν.

Sea A un anillo conmutativo con identidad 1_A de característica p, notemos que[x_i, y_j, z_k] ⊆[x_i , y_j , z_k] puede ser sumergido en el anillo de polinomios A[X_i , Y_j , Z_k ] mediante:

Dado f(x_i , y_j , z_k) ∈[x_i , yj , zk] denotamos por(X_i , Y_j , Z_k) a λ (f(x_i , y_j , z_k)). Por otro lado, a la luz del Teorema 3.8, las operaciones ⊕, son cerradas al tomar a, b ∈[x_i , y_j , zk]^N y 0, 1 ∈[x_i , y_j , z_k]^N, es decir, éste es un subanillo de W(Q) que denotaremos por W(). Ahora consideremos los conjuntos de sucesiones infinitas: A^N y (λ([x_i , y_j , zk]))^N, entonces λ :[x_i , y_j , z_k] → λ([x_i , yj , z_k]), es un homomorfismo de anillos sobreyectivo y puede ser extendido de manera natural como sigue:

Nuevamente, por el Teorema 3.8 dadas dos sucesiones a, b ∈ W() existen polinomios con coeficientes enteros s_ν, m_ν que satisfacen (13), así tenemos la siguiente definición.

Definición 3.9. Dados dos elementos r = (r_ν), t = (t_ν) ∈ A definimos la suma y el producto de estos como las sucesiones r ⊕ t = ((r + t)_ν) y r t = ((rt)_ν) tales que:

Veamos que en efecto mediante las operaciones definidas antes, se puede dotar de una estructura de anillo a A:

Teorema 3.10. El conjunto A es un anillo conmutativo con identidad (1 _A , 0 _A , . . . , 0 _A , . . .) y neutro de la suma (0 _A , 0 _A , . . . , 0 _A , . . .)

Demostración. Sean X = (X₀, X₁, . . . , X_n−1, . . .), Y = (Y₀, Y₁, . . . , Y_n−1, . . .) y Z = (Z₀, Z₁, . . . , Z_n−1, . . .) ∈ A. Como Λ es sobreyectiva, existen x = (x₀, x₁, . . . , x_n−1, . . .), y = (y₀, y₁, . . . , y_n−1, . . .), z = (z₁, z₂, . . . , z_n−1, . . .) ∈ ^N tales que Λ(x) = X, Λ(y) = Y y Λ(z) = Z. Luego, por (14):

y esto se cumple para cada ν ≥ 0, entonces:

es decir, Λ preserva las operaciones entre W() y A, en otras palabras, Λ es un homomorfismo sobreyectivo de anillos, así por el primer teorema de isomorfismos:

Finalmente, dado que Λ(1) = (1 _A , 0 _A , . . . , 0 _A , . . .) y Λ(0) = (0 _A , 0 _A , . . . , 0 _A , . . .), estos son la identidad y el neutro de la suma en A respectivamente.

El teorema anterior establece un hecho importante, puesto que nos ha bastado con hallar una imagen homomórfica del anillo de polinomios en varias indeterminadas (x_i , y_j , z_k) con coeficientes en para poder extender la estructura del anillo de vectores de Witt

W(Q) al conjunto de sucesiones infinitas A. Esto resulta muy útil dado que si A = _pm las condiciones se satisfacen de manera inmediata y nos acerca a nuestro objetivo.

Es importante reconocer la diferencia al usar [x_i , y_j , z_k] ^N y W() pues el primero hace referencia a las sucesiones con las operaciones usuales de suma y producto, mientras que el segundo nos debe indicar que estamos usando la estructura inducida mediante ⊕ y . El siguiente corolario es el paso final en la construcción del anillo truncado de vectores de Witt.

Corolario 3.11. Sean

y la función:

Si definimos la suma +_s y el producto ·_s en W_s (A) mediante:

entonces (W_s(A), +_s, ·_s) es un anillo conmutativo con identidad 1 = (1_A, 0_A, . . . , 0_A) y neutro de la suma 0 = (0_A, 0_A, . . . , 0_A).

Definición 3.12. Sea A un anillo conmutativo con identidad. Los anillos conmutativos (W(A), ⊕, ) y (W_s(A), +_s, ·_s) asociados a A, reciben los nombres de anillo de vectores de Witt sobre el anillo A y anillo truncado de vectores de Witt de longitud s sobre A, respectivamente.

En la sección 2 se mencionaron dos representaciones para elementos del anillo de Galois, la representación p-ádica (1) y la representación aditiva (2), la diferencia sustancial entre dichas formas de escribir los elementos del anillo estriba en que, mientras que las representaciónes aditivas son fáciles de operar mediante la suma y producto usuales en _p ^s [ξ], las representaciones p-ádicas, por otro lado, representan un problema mayor, ya que sus coeficientes deben ser elementos del conjunto de Teichmüller T el cual en general no es cerrado bajo la suma, pero como la µ-reducción resulta ser una biyección entre T y _p ^m, éste hecho permitirá posteriormente dar una solución a dicha problemática, más aún, en [16], los autores presentan un isomorfismo entre el anillo truncado de vectores de Witt W_s( _p ^m) y el anillo de Galois GR(p ^s , m) luego, haciendo uso de esta herramienta se consigue operar a las µ-reducciones de las componentes p-ádicas de los elementos del anillo de Galois.

Dicho resultado se enuncia a continuación, en lo sucesivo, denotaremos mediantei (c) a µ(ρi(c)) la µ-reducción de las componentes p-ádicas de un elemento c ∈ GR (p^s , m).

Teorema 3.13 ([16, Theorem 4]). El anillo truncado de vectores de Witt de longitud s, W_s( _pm) es isomorfo al anillo de Galois GR(p ^s , m) mediante la función:

donde ρi(c)∈ T , (0 ≤ i ≤ s−1) son las componentes p-ádicas del elemento c∈GR(p ^s , m) como en (1) y ri(c)=ρi(c).

4. Aritmética en GR (p³ , m)

A continuación estudiaremos cómo el isomorfismo Γ del Teorema 3.13 nos permite estudiar la suma de dos elementos cualesquiera en el anillo GR (p ³ , m) y el producto de un elemento arbitrario en dicho anillo con una unidad de la forma λ = 1 − p ² .

Se conseguirán fórmulas para dichas operaciones y éstas nos permitirán estudiar también la aritmética de las componentes p-ádicas de los elementos en un anillo de Galois. Vale la pena remarcar la importancia de hallar una manera esquemática de operar dichas componentes y más adelante usaremos esto para analizar códigos definidos sobre GR (p ³ , m).

Consideremos el caso s = 2. Dados elementos (u₀, u₁),(v₀, v₁) ∈ W₂( _pm), aplicando (15) a (10) tenemos que:

Por (5) tenemos las siguientes expresiones:

Notemos que:

De (16) y lo anterior tenemos

donde

Para los términos s_ν con ν ≥ 3 la expresión es mucho más compleja, por lo tanto presentamos el siguiente resultado.

Lema 4.1. Sean u = (u₀, u₁, . . . , u_s−1), v = (v₀, v₁, . . . , v_s−1) ∈ W s ( _pm). Entonces:

donde 0 ≤ i, j ≤ ν − 1 y h_l(x_i , y_j ) es un polinomio con coeficientes enteros y término constante (respecto a todas sus variables) cero, para 0 ≤ l ≤ ν − 1 y 0 ≤ ν ≤ s − 1.

Demostración. Por (10) tenemos que (u +s v) ^(ν) = u ^(ν) + v ^(ν) , ahora expandiendo como en (5) y si denotamos por s_k a s_k(u_i , v_j ) tenemos que:

Despejando p ^ν s_ν:

Nombremos h_ν−1(u_i , v_j ) al segundo término en el lado derecho de (18). Así, dividiendo por p ^ν ambos lados de dicha ecuación, se obtiene (17). Las características de h_l(x_i , y_j ) se siguen del Teorema 3.8.

Por otro lado, para la multiplicación sean (u₀, u₁),(v₀, v₁) ∈ W₂( _pm). Procediendo como antes, tenemos:

Está claro que m^p ₀ = u^p ₀ v^p ₀ y despejando m₁ tenemos que:

Reduciendo módulo p obtenemos m₁ = u^p ₀v1 + v^p ₀u1. Para poder hallar el nuevo término m₂ debemos tomar la expresión m₁ antes de la reducción módulo p, así:

De ahí, dado que m = u v y

podemos agrupar términos semejantes y cancelar:

Aquí T representa a todos los términos que tienen como factor común a p ³ ; luego al dividir por p ² quedará un factor p acompañando a T, y estos términos desaparecerán al aplicar la reducción módulo p, por lo tanto, no es relevante (para este caso) conocerlos explícitamente. Usando (19) en la expresión anterior tenemos que:

El último sumando de (19) está contenido en T′ ahora debido al factor adicional p, y así tras dividir por p ² y aplicar reducción módulo p

Es decir, que dados (u₀, u₁, u₂),(v₀, v₁, v₂) ∈ W₃( _pm), entonce

Ahora podemos aplicar las fórmulas (20) para hallar las µ-reducciones de las componentes p-ádicas del producto de un elemento en el anillo de Galois GR(p ³ , m) y una unidad de la forma λ = 1−p ² . Antes de hacerlo, un resultado que nos será de apoyo es la siguiente:

Proposición 4.2. Sea c ∈ R. Entonces:

para 0 ≤ k ≤ 2.

Demostración. Sea c ∈ R con representación p-ádica c = ρ₀(c) + pρ₁(c) + p ²ρ₂ (c), entonce:

Si k = 1, es claro que pc = pρ₀(c) + p ²ρ₁(c). Y dado que ρ₀(c), ρ₁ (c) ∈ T , se sigue de la unicidad de la representación p-ádica que:

Por otro lado, si k = 2, tenemos que p² c = p² ρ₀(c). Y dado que ρ₀(c) ∈ T , entonces:

Finalmente, aplicando la µ-reducción a las expresiones (21) y (22) se tiene el resultado.

Ahora, considere una unidad en R de la forma λ = 1 − p ² , aplicando el isomorfismo Γ tenemos:

Así, dado c ∈ GR(p ³ , m) con

si aplicamos (20) para el producto λc tenemos que:

Es fácil ver de lo anterior que k(1, 0, r₀(c), r₁(c)) = 0 y aplicando el inverso del automorfismo de Frobenius a (23) en el campo finito _pm se llega a:

5. Imágenes de Gray de códigos consta-cíclico

En esta sección exhibiremos condiciones necesarias y suficientes para que la imagen de Gray de un código λ-cíclico o consta-cíclico sobre R = GR(p ³ , m) sea cuasi-cíclica sobre el campo finito _q con q = p^m elementos. En adelante, sea T es el conjunto de Teichmüller de R, q = p^m y n es un entero positivo tal que (n, p) = 1.

Definición 5.1. Sea λ = 1 − p² = 1 + N ′ p² , con N ′ ∈ T tal que µ(N ′ ) = −1. Un corrimiento λ-cíclico o consta-cíclico es una función:

Un código C es llamado consta-cíclico o λ-cíclico si, y solo si, ν_λ(C) ⊆ C.

Definición 5.2. Sea c = (c₀, c₁, . . . , c_n−1) ∈ ⁿ _q . Un corrimiento cíclico es una función:

Dados enteros positivos s, t tales que st = n se puede escribir:

y por tanto:

Un corrimiento cuasi-cíclico σ ^⊗t : ⁿ _q → ⁿ _q es una función tal que:

Un código C se dirá cuasi-cíclico de índice t y longitud st, si σ ^⊗t (C) = C.

Sean ω una raíz primitiva de la unidad en _q y β := {1, ω, . . . , ω^m−1} una base de _q como _p-espacio vectorial. Puesto que hay una biyección entre _q y _q dada por:

donde 0 ≤ h_i ≤ p − 1 para i = 0, 1, . . . , m − 1, los elementos del campo finito _q, con q = p ^m elementos, se tomarán en el orden siguiente:

Obsérvese que,

donde (∗)p denota la reducción módulo p.

Sea

para i = 0, 1, . . . , p^m−1 − 1 y k = 0, 1, . . . , p − 1. Entonces los elementos del campo finito _q se pueden expresar y enumerar en la forma:

Definimos:

Aquí, ⊗ denota el producto de Kronecker expandido de izquierda a derecha.

Definición 5.3. Sean R = GR(p ³ , m), n un entero positivo y RF = _q con q = p ^m entonces la función de Gray está dada por:

La función de Gray resulta ser de gran importancia pues funciona como un puente entre los códigos definidos sobre anillos finitos de cadena y los códigos definidos sobre campos finitos (cf.[7], [18], [11]). Una de las propiedades más conocidas y que resulta de gran importancia en la teoría de códigos es el siguiente (cf. [4],[5]):

Teorema 5.4 ([4, Theorem 1.1]). La función de Gray Φ es una isometría inyectiva entre (Rⁿ, d_hom ) y ( , dH).

Aquí, dH(∗) es la distancia de Hamming y d_hom(∗) es la distancia homogénea, las cuales se definen de la siguiente manera: d_H(,) = w_H( −) y d_hom = w_hom(c_i − d_i) donde

y

El peso de Hamming y el peso homogéneo respectivamente.

Proposición 5.5.

Demostración. Sea A = (a₀, a₁ , . . . , an₋₂, a_n−1 ) ∈ Rⁿ y denotemos por B = (b₀, b₁ , . . . , b_n−1 ) = ν_λ(A), entonces:

así de (23) tenemos:

Ahora por (24) el k-ésimo bloque de longitud nq de Φ(B) es:

Así podemos extraer el i-ésimo bloque de longitud np de Φ(B) y lo denotaremos por B _i

Procediendo como antes y expandiendo los productos tenemos que:

Tras realizar los productos, podemos estudiar el j-ésimo bloque de longitud n de B _i el cual denotaremos por B _ij es decir:

Notemos que la primera componente de B _ij es:

Se sigue que:

Por otro lado, aplicando la función de Gray al n-tuple A obtenemos:

Procediendo como antes analizaremos el i-ésimo bloque de longitud np de Φ(A) así:

Expandiendo los productos de Kronecker de A _i , podemos escribir dicho bloque como un arreglo de tamaño n × p, es decir:

Observemos que al aplicar el corrimiento cíclico en este bloque:

Denotemos por A ^ij al j-ésimo bloque de longitud n del arreglo (A _i), de ahí tenemos que la 0-ésima y la k-ésima entradas de este bloque son respectivamente:

Una comparación por pares de (25) con (27) y (26) con (28) respectivamente, nos permite llegar a que para cada k ∈ {0, 1, . . . , n − 1} los bloques de longitud n; B _ij y A ^ij son iguales, de ahí que

y dado que

se sigue el enunciado de la proposición:

Esta proposición nos permite enunciar el resultado principal de está sección:

Teorema 5.6. Un R-código C de longitud n es consta-cíclico si, y solo si, su imagen bajo la función de Gray Φ(C) es un código cuasi-cíclico sobre _pm de índice p ^2m−1 y longitud np^2m.

Demostración. Sea C un R-código tal que Φ(C) es un código cuasi-cíclico de índice p ^2m−1 y longitud np^2m, entonces por definición:

Luego usando la Proposición 5.5:

y de la inyectividad de Φ:

El recíproco de esta afirmación se sigue de manera análoga.

6. Conclusio

Los anillos de Galois tienen una conexión estrecha con el anillo truncado de vectores de Witt como se mostró con el isomorfismo del Teorema 3.13. Dicha conexión nos permitió establecer el Teorema 5.6.

A lo largo de este manuscrito una técnica recurrente ha sido el uso de las propiedades de las operaciones del anillo de vectores de Witt para analizar una forma adecuada de operar los elementos del anillos de Galois mediante su representación p-ádica. Esto indica que al hacer uso de estas estructuras algebraicas en conjunto nos abre las puertas para investigar los códigos definidos sobre los anillos de Galois de manera eficiente.

Agradecimientos

Nos gustaría agradecer a los árbitros por sus valiosos comentarios y sugerencias que contribuyeron significativamente a mejorar la calidad de nuestro manuscrito.

Referencias

Notas

1 Dicho elemento es llamado primitivo en paralelismo con los campos finitos (cf. [16]).

2 La expresión polinomial f_k(P(a), P(b)) sólo toma las primeras k componentes de P(a) y P(b).

Notas de autor

argr040890@gmail.com

Información adicional

Para citar este artículo: A. R. García-Ramírez, C. A. López-Andrade and David Villa-Hernández, Imágenes de Gray de códigos consta-cíclicos sobre anillos de Galois R de índice de nilpotencia 3, Rev. Integr. temas mat. 39 (2021), No. 1, 57-78. doi: 10.18273/revint.v39n1-2021005

Revista Integración
ISSN: 0120-419X
Vol. 39
Num. 1
Año. 2021

Imágenes de Gray de códigos consta-cíclicos sobre anillos de Galois R de índice de nilpotencia 3

Angel R.Carlos A.David García-RamírezLópez-AndradeVilla-Hernández
Benemérita Universidad Autónoma de PueblaBenemérita Universidad Autónoma de PueblaBenemérita Universidad Autónoma de Puebla,MéxicoMéxicoMéxico