Desarrollo analítico de las ecuaciones Ginzburg-Landau para películas delgadas superconductoras en presencia de corrientes

 

Analytical development of Ginzburg-Landau equations for superconducting thin film in presence of currents

 

Cristian Andrés Aguirre1, Quesle da Silva Martins2, José José Barba-Ortega3,4

1Departamento de Física, Universidade Federal de Mato Grosso, Cuiabá, Brasil. Correo electrónico: cristian@fisica.ufmt.br

2Departamento de Física, Universidade Federal de Rondônia, Jí-Paraná, Brasil. Correo electrónico: quesle@fisica.ufmt.br  

3Departamento de Física, Universidad Nacional de Colombia, Bogotá, Colombia. Correo electrónico: jjbarbao@unal.edu.co

 4Foundation of Researchers in Science and Technology of Materials, Bucaramanga, Colombia.

RESUMEN

Un análisis analítico para obtener las ecuaciones Ginzburg-Landau dependientes del tiempo en presencia de una corriente J y de campo magnético H, en una película delgada superconductora mesoscópica, es mostrado. La corriente de transporte es aplicada en un pequeño contacto ubicado en la frontera de la muestra. Estos contactos son incluídos a través del parámetro de extrapolación de deGennes b en las condiciones de contorno. Finalmente, mostramos una útil herramienta que puede ser usada para encontrar la evolución de ψ(A,t) en dicho formalismo. Encontramos la dependencia de la magnetización M(H) y de la susceptibilidad magnética χm(H) con b para dicha muestra.

PALABRAS CLAVE: Ginzburg-Landau; corriente; Poisson; magnetización; susceptibilidad

ABSTRACT

An analytical analysis to obtain the time dependent Ginzburg-Landau equations in presence of a current J and magnetic field H in a mesoscopic superconducting thin film is shown. The transport current is applied in a little contact in the boundary of the sample. This contacts are included through to the deGennes extrapolation parameter b in the boundary conditions. Finally, we show a useful tool that can be used to found the evolution of ψ(A,t) in this formalism. We found the dependence of the magnetization M(H) and magnetic susceptibility χm(H) with b for such sample.

KEYWORDS: Ginzburg-Landau; current; Poisson; magnetization; susceptibility.

 

INTRODUCCIÓN

Una de las ramas de la física de la materia condensada que más ha sido estudiada recientemente, es el área de la superconductividad, por dos aspectos básicos: el primero, son las aplicaciones directas que tiene implicaciones en casi todas las áreas del conocimiento, como la medicina [1], [2], mediciones de pequeños campos magnéticos [3]-[5], estudios biológicos [6], almacenamiento de información [7]-[9], y como segundo aspecto, por su gran complejidad matemática [10]-[14], ya que la forma funcional de dicho sistema de ecuaciones, al no presentar comportamiento lineal, implica soluciones numéricas complejas y de altos procesos computacionales [15]-[23]. Dado esto, en los años más recientes se ha iniciado el estudio del fenómeno superconductor con inclusión de corrientes, ya que este fenómeno implica, movimiento coordinado de cascadas de vórtices, que pueden ser aprovechados como corrientes muy similares a las que hoy en día se estudian con electrones [24]-[33], con las ventajas usuales, que en el estado superconductor, no existen perdidas Óhmicas y con los descubrimientos de superconductores cada vez con mayor temperatura critica Tc, se espera que la aplicación directa de la fluxtrónica, que es el aprovechamiento de dichas corrientes de

vórtices en diferentes tipos de dispositivos. En el presente trabajo presentamos el esquema de discretización de las ecuaciones Ginzburg-Landau dependientes del tiempo en presencia de campos y corrientes, para una película superconductora (vea Figura 1). La corriente se aplica por contactos metálicos modelados mediante el parámetro de deGennes b en las condiciones de contorno. Adicionalmente, estudiamos la dependencia de la magnetización M(H) y susceptiblidad magnética χm con b. Esta contribución está organizada de la siguiente forma, en la sección Formalismo Teórico presentamos el análisis del método numérico usando para resolver las ecuaciones Ginzburg-Landau y sus generalidades. En la sección Resultado Numérico mostramos un ejemplo de aplicación a la solución a un problema particular y finalmente, mostramos las conclusiones en su respectiva sección.

FORMALISMO TEÓRICO

La primera ecuación de Ginzburg-Landau dependiente del tiempo para peliculas finas en presencia de campos y corrientes están dada por [18], [19], [20]:

En el límite de pelicula delgada se toma el potencial vector A igual al potencial vectorial asociado al campo magnético externo, por lo cual la ecuación Ginzburg-Landau que da cuenta de la variación temporal de A, no se resuelve. En la ecuación 1, ψ representa el parámetro de orden, A el potencial vectorial, Φ el potencial eléctrico. Esta ecuación está adimensioanlizada de la siguiente manera:

el parámetro de orden ψ en unidades de ψ = p−α/β, el potencial vectorial A en unidades de ξHc2, siendo Hc2 el segundo campo crítico termodinámico, longitudes en unidades de la longitud de coherencia ξ, temperatura en unidades de la temperatura crítica Tc, tiempo en unidades del tiempo Ginzburg-Landau tGL = π~/8kBTcη, el potencial eléctrico en unidades de Φ0 = ~/2etGL. Condiciones de contorno de Neumann son tomadas en todas las fronteras de la muestra, excepto en los contactos donde variamos b. Con J siendo la corriente aplicada en unidades de J0 = cσ~/2etGL; σ es la conductividad en el estado normal. Tomamos Γ = 10 y µ = 5,79 que son obtenidos del formalismo microscópico [20]. Condición necesaria para películas finas d  ξ. El diagrama de fase de los superconductores mesoscópicos está fuertemente influenciado or las condiciones de contorno para el parámetro de orden. En general dado por las condiciones de contorno de deGennes (introducimos la nueva variable γ = 1 − δ/b, para un mejor análisis de resultados):

En la ecuación 2, n es el vector unitario perpendicuar a la superficie del superconductor, b es el parámetro deGennes y δ = 0,1 es el tamaño de la malla. γ > 1 simula una interface superconductor-superconductor, γ = 1 idealiza la interface superconductor-vacio, y δ < γ < 1 es propio de una interface superconductor-metal. La densidad de corriente J debe cumplir la ecuación de continuidad:

∂t

En la ecuación 3,se cumple en general que J~ = J~s + J~n,

J~ = Re[ψ˜(−(∇ −~ A~)2ψ)] y J~n = ∇~Φ, que resulta de la invariancia de calibre usada. Asumiendo que 0 obtenemos ∇ ·~ J~ = 0 de donde se obtiene ∇~2Φ = ∇ ·~ J~s que será la ecuación de Poisson usada para incluir el potencial eléctrico. Ahora, inicialmente necesitamos una expresión implícita para el parámetro de orden ψ, para ello analizaremos analiticamente de la ecuación 1 (mostrado desde la ecuación 4 hasta la ecuación 26):

Donde ∆ = −(∇ −~ A~)2ψ + ψ(1 − |ψ|2), con |ψ|2 = ψ∗ψ˜ y tomando su complejo conjugado:

Suponiendo que ψ y ψ˜ son independientes tenemos el siguiente sistema de ecuaciones simultaneas:

Calculando el determinante del sistema:

Con lo cual, la solución para  estaría dada por:

Obteniéndose explícitamente:

Dada que los esquemas usuales de diferencias finitas o elementos finitos, presentan una complejidad en términos de la cantidad de puntos en la malla matemática, entonces aplicaremos el método de variables de enlace [12], donde se define una nueva variable como:

con ∂x,yUx,y = −iAx,yUx,y. Dadas estas propiedades, se permite escribir los operadores de la siguiente forma:

Con lo cual, en la base de Ux,y,U˜x,y, ∆ es escrito de la siguiente forma:

En la Figura 2, presentamos la malla matemática usada para la solución de la ecuación 1, usaremos las siguientes definiciones con el tamanõ total de la malla de

 

Dado esto, con ayuda de la derivada central, la discretización del factor ∆, se expresa de la siguiente forma:

Con lo cual, se procede a la discretización de:

obteniéndose como aproximación:

El paso a seguir son las condiciones de contorno, para los contactos metálicos. Estos serán modelados mediante la imposición sobre la densidad de corriente, donde las posiciones de los contactos son Nwi y Nwf : Jsx(i,j) = 0,

Jsy(Nx,j) = 0, para 2 ≤ j ≤ Nwi y Nwf ≤ j ≤ Nny. Ahora aplicando los métodos usuales de separación de variables, para la ecuación de Poisson para dar cuenta del potencial ∇~2Φ = ∇·~ J~s, donde se soluciona ΦH más la homogénea ΦNH, con la cual, aplicando dichas condiciones de contorno, para encontrar los valores de las constantes representadas en la Figura 2:

RESULTADO NUMÉRICO: EJEMPLO DE APLICACIÓN

Dados los resultados de la sección anterior, aplicaremos dicha solución al problema considerado y presentaremos la dependencia que, sobre la magnetización y la susceptibilidad magnética, tiene la inclusión de corriente en la muestra. En la Figura 3(b), mostramos la magnetización −4πM en función del campo magnético H para diferentes condiciones de contorno o valores de γ. Se observa que, en los casos que corresponde a γ = 0,8 y γ = 0,9, para valores mayores de H = 0,75, la muestra permnece en estado Meissner. En la Figura 3(b), se presenta la magnetización para γ > 1, cada salto representa el ingreso de vórtices en la muestra. En ambas figuras se resaltan H = H1, valor del campo para el cual ocurrre el primer ingreso de vórtices. La Figura 5 muestra la susceptibili-

dad magnética χm = ∂H~ M~ para J = 0,5 y diferentes γ. Se observa que para todos los casos presentados y H > 1,48 la susceptibilidad magnética es nula, además de presentar las oscilaciones típicas, conforme ingresan los vórtices en la muestra.

CONCLUSIONES

Presentamos un análisis numérico de discretización de las ecuaciones Ginzburg-Landau y el algoritmo necesario para garantizar su convergencia y estabilidad en la solución computacional. Mostramos la forma analítica de dichas ecuaciones, estableciendo condiciones de contorno para todas las cantidades físicas relevantes. Con lo

 

cual, solucinamos el algortimo computacional y aplicamos dicha solución a un problema específico. Calculamos curvas de magnetización y susceptibilidad magnética, y su dependencia con las condiciones de contorno, estos resultados están en completa concordancia con resultados teóricos y experimentales existentes en la literarura.

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