Calibración cinemática de una ruteadora CNC usando un modelo cuasi-estático de error y fotogrametría monocular

1. Introducción

Un factor que determina la calidad de un componente mecanizado es la precisión dimensional, que es función de las máquinas herramientas y de su configuración para el proceso de fabricación. A su vez los errores de fabricación asociados a una máquina herramienta son un acoplamiento de errores que inician en la preparación de la máquina y que se conjugan con los errores del mecanizado propiamente dicho. Los errores asociados al maquinado incluyen los del controlador, las deformaciones elásticas por cargas de trabajo e inerciales, y las variaciones dimensionales por cargas térmicas y por errores geométricos en la fabricación y ensamble de la máquina herramienta [1]. La referencia [2] ha caracterizado a los errores térmicos y geométricos como dominantes, estables (cuasi-estáticos), insensibles al ambiente, y susceptibles a ser compensados, lo que ha sido el fundamento de diferentes métodos de mejora de la precisión de máquinas herramientas, ver por ejemplo [3] y [4] donde se registran revisiones de trabajos recientes.

El procedimiento común para la identificación y compensación de los errores cuasi-estáticos, en adelante calibración cinemática, consta de tres pasos gruesos habituales entre diferentes autores. Por ejemplo, [3] y [5] resumen el procedimiento como: (i) construcción de un modelo para calibración cinemática, (ii) determinación experimental de errores, y (iii) compensación de errores.

El modelo cinemático determina los requerimientos para la medición de errores [5], entonces es necesario caracterizar tanto los errores como los métodos de medición. Para los errores geométricos se han establecido dos categorías recurrentes en la literatura, según la referencia [4]: (i) los causados por imperfecciones durante la manufactura de los elementos de la máquina herramienta y que son función de la posición (PDGEs), y (ii) los causados por variaciones durante el ensamble de la máquina herramienta y que resultan independientes de la posición (PIGEs). A su vez, la estimación experimental de los errores se ha desarrollado en dos categorías revisadas por [1] y por [6]: (i) métodos de medición enfocados en los errores geométricos de un eje en particular y denominados directos, y (ii) métodos de medición enfocados en la combinación de los errores en la herramienta y denominados indirectos.

Las categorías previamente descritas permiten clasificar varios trabajos recientes sobre calibración cinemática de máquinas CNC: la referencia [2] presenta un algoritmo para la calibración cinemática de máquinas CNC de tres ejes con modelo geométrico basado en Matrices de Transformación Homogénea (HTM), método de medición indirecto mediante ballbar desarrollado en tres planos ortogonales, y estimación de parámetros usando un algoritmo genético con dos etapas.

El algoritmo propuesto identifica un conjunto de parámetros cinemáticos que minimizaría los errores geométricos en la vecindad del volumen calibrado, pero el trabajo no avanza hasta la compensación y verificación experimental. Una calibración cinemática para máquinas herramientas de cinco ejes se presenta en [3], donde el modelo cinemático se basa en screw theory y se identifica un conjunto de parámetros geométricos mediante desacoplamiento e iteración en la identificación de PDGEs y de PIGEs, el método de medición de errores es uno indirecto basado en ballbar, mientras la compensación se realiza mapeando correcciones desde un modelo cinemático ajustado hacia el plan de fabricación de la parte.

El trabajo abarca hasta la simulación y verificación experimental de una calibración. Alternativo a [3], la referencia [4] presenta una calibración cinemática para cinco ejes derivada de una variación de un modelo cinemático basado en la representación en Producto de Exponentes (POE). El modelo alternativo usa una transformación que requiere un número menor de parámetros, tanto para la representación de los pares de rotación como para los de translación, y que requiere menos cálculos que el POE estándar. La medición de errores es indirecta mediante ballbar y se reportan resultados simulados y experimentales. En la literatura se encuentran calibraciones de máquinas herramientas de cinco ejes con modelo cinemáticos que no están basados en screw theory, por ejemplo, en [7] se propone una calibración de PIGEs basado en Matrices de Movimiento Diferencial (DMM) que describen el efecto de pequeños cambios de posición y orientación en marcos de coordenadas consecutivos.

El modelo diferencial propaga los errores desde la base hasta la herramienta en la cadena cinemática. La medición de errores se realiza mediante ballbar y la identificación de parámetros se logra mediante un algoritmo de mínimos cuadrados que es característico de muchos modelos de identificación. Los resultados se reportan sobre simulación y experimentación. La calibración cinemática se ha extendido incluso a máquinas herramientas de propósito específico, por ejemplo, en [8] se presenta la calibración cinemática de una máquina fresadora de engranes cónicas espirales como una alternativa a métodos tradicionales de modificación de configuraciones.

La calibración de la máquina se diseña específicamente para los parámetros que más inciden en las principales características geométricas de los engranes, el modelo geométrico de la máquina es uno basado en screw theory, la medición de errores es directa mediante interferómetro laser y calibrador rotativo, y la compensación se realiza a través del plan de manufactura y del pos-procesador. Se reportan verificaciones experimentales medidas directamente sobre engranes manufacturados.

El invariante metodológico de la calibración cinemática, como lo ha expresado [7] y como también se evidencia en los trabajos aquí revisados, es un modelo cinemático que relaciona los errores de posición del centro de la herramienta con los parámetros de un modelo de los errores geométricos. Al final el modelo matemático, la medición de errores, y la estrategia de compensación resultan incidentales y dependientes del contexto y de las capacidades técnicas y analíticas disponibles para los investigadores. La calibración cinemática puede complementarse con enfoques en el nivel de la rugosidad, por ejemplo [9], donde se modela un proceso de fresado, desde la perspectiva de la herramienta, para obtener parámetros de operación.

En este trabajo se reporta la calibración cinemática de una máquina herramienta para ruteado. La máquina opera en un contexto artesanal en el que los requerimientos de precisión son equiparables con tolerancias dimensionales lineales según la norma ISO 2768-c. El modelo de calibración cinemática elegido para este trabajo tiene los tres pasos típicos descritos en la literatura:

• Se asume un modelo matemático para la descripción de los errores basado en la propuesta de [10]. El modelo describe los movimientos relativos entre eslabones y los errores geométricos mediante HTM. Al limitar el espacio de trabajo a una aplicación de ruteado el número de parámetros cinemáticos se reduce a los requeridos por el plano de trabajo.

  Para la estimación de parámetros se usa un algoritmo de Levenberg-Marquardt que minimiza la diferencia entre la posición ideal del centro de la herramienta y la posición efectivamente alcanzada. Para la medición de los errores se optimiza la observabilidad de los parámetros cinemáticos desde una matriz de sensibilidad, según lo propuesto en [11]. La medición se implementa mediante el registro monocular de un patrón de maquinado representativo del área de trabajo y su procesamiento mediante algoritmos estándar de visión de máquina.

  La compensación de errores se implementa a través del modelo cinemático corregido según se propone en [12], mapeando los errores desde el diseño de la pieza a fabricar hasta el código G.

La estructura del artículo es como sigue: en la sección 2 se presentan los fundamentos del modelo geométrico, de la medición de los errores de posicionamiento, y de la compensación de una máquina ruteadora CNC. La sección 3 desarrolla una nueva propuesta para la medición de los errores de posicionamiento de una máquina ruteadora mediante un patrón-huella de maquinado y visión monocular. En la sección 4 se presentan los resultados de la calibración de una máquina CNC, y, finalmente, la sección 5 registra las conclusiones.

2. Modelo de calibración de errores geométricos

El modelo cinemático propuesto en [10] y adoptado para este trabajo se desarrolla en tres etapas. En la primera etapa se asignan sistemáticamente dos categorías de marcos de coordenadas: unos completamente restringidos y diseñados para representar las relaciones estructurales en la máquina mediante transformaciones de forma y otros diseñados para representar el movimiento relativo de eslabones sucesivos mediante transformaciones de junta.

La Figura 1 presenta una asignación de marcos para una máquina CNC de tres ejes ortogonales donde los marcos {1}, {3}, y {5} son fijos con respecto a su predecesor y están en la primera categoría, mientras los marcos {2}, {4} y {6} permiten la representación del movimiento de translación entre los eslabones consecutivos y pertenecen a la segunda categoría. La relación ideal entre eslabones consecutivos se representa mediante matrices de transformación homogénea. Si la transformación es de forma se nota como 𝑇_𝑖(𝑎_𝑖,𝑏_𝑖,𝑐_𝑖) y si es de junta se nota como Φ_𝑖(𝛿_𝑖1𝑥₁,𝛿_𝑖2𝑥₂,𝛿_𝑖3𝑥₃), donde 𝑎_𝑖,𝑏_𝑖,𝑐_𝑖 son parámetros geométricos en las direcciones 𝑥_𝑖,𝑦_𝑖,𝑧_𝑖, mientras el parámetro discreto 𝛿_𝑖𝑗 identifica las juntas activas en cada transformación de junta: si 𝑖≠𝑗 →𝛿_𝑖𝑗=0, si 𝑖=𝑗 →𝛿_𝑖𝑗=1.

La posición 𝐶_𝑃 del centro de la herramienta con respecto a un marco de referencia {0} se obtiene mediante la composición sucesiva de las transformaciones de forma y de junta desde el marco {0} hasta alcanzar el marco de la herramienta.

Si como referencia se hacen coincidir el marco fijo y el punto 𝐶_𝑃 la composición de las transformaciones resultará en matriz identidad, 𝐼 = 𝑇₄𝛷₃𝑇₃𝛷₂𝑇₂𝛷₁𝑇₁.

En la segunda etapa se compensa el maquinado teniendo en cuenta el diámetro y la longitud de la herramienta. La relación entre el marco de referencia para la programación CNC y el punto objetivo se registra mediante una matriz 𝑋(𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃) que representa exclusivamente una traslación, mientras que la compensación por diámetro y longitud se registra en la matriz 𝑇_𝐶 (𝑎_𝑡, 𝑏_𝑡, 𝑐_𝑡) que es función de los parámetros de la herramienta y de la trayectoria del maquinado. En el caso ideal, la composición de la compensación, el modelo cinemático, y la representación del punto objetivo deberían coincidir con el centro de la herramienta. La tercera etapa avanza el modelo hasta incluir los errores geométricos.

Cada transformación de forma se actualiza incluyendo tres desalineaciones de orientación y tres desalineaciones dimensionales, entonces 𝑇_𝑖=𝑇_𝑖(Δ𝛼_𝑖,Δ𝛽_𝑖,Δ𝛾_𝑖,Δ𝑎_𝑖,Δ𝑏_𝑖,Δ𝑐_𝑖). Asi mismo, cada transformación de junta dependerá de errores angulares, de errores de posicionamiento y de la acumulación de errores de rectitud en función de la i-ésima coordenada generalizada 𝑥_𝑖, lo que implica que Φ𝑖=Φ𝑖(𝛼_𝑖(𝑥_𝑖),𝛽_𝑖(𝑥_𝑖),𝛾_𝑖(𝑥_𝑖),𝜌_𝑖(𝑥_𝑖)). La forma particular de las transformaciones de forma y de junta puede consultarse en [10]. El modelo cinemático con errores geométricos tendrá una diferencia 𝑅 entre el punto objetivo 𝑋 y el centro 𝐶_𝑝 de la herramienta, según se registra en la ecuación (1):

Para una máquina de tres ejes, y para el caso particular de una máquina ruteadora que es el foco de este trabajo, la compensación de los errores se centrará en los errores de desplazamiento de la herramienta. En consecuencia, se extrae la información relevante del modelo según se presenta en la ecuación (2):

donde ⁿ𝒆 es un vector que contiene los errores de desplazamiento correspondiendo con un modelo donde los errores angulares 𝛼_𝑖(𝑥_𝑖), 𝛽_𝑖(𝑥_𝑖) y 𝛾_𝑖(𝑥_𝑖), y de posicionamiento 𝜌𝑖(𝑥𝑖) se representan como funciones polinómicas de orden n de la coordenada generalizada 𝑥_𝑖, 𝑖=1,2,3.

El modelo de error geométrico planteado en la ecuación (2) se desarrolla recursivamente, partiendo de un modelo de orden 0 que representa una máquina en la que no hay variación de los errores a lo largo de los ejes motrices y donde los errores se reducen a imprecisiones dimensionales de los elementos estructurales y a los errores de ortogonalidad en los ejes. Los órdenes mayores en los polinomios de error representarán características dependientes del desplazamiento de los ejes motrices. La forma particular de la recursión puede consultarse en [10].

La referencia [10] reporta varios trabajos en los que se recurre a modelos lineales para modelar máquinas herramientas de tamaño mediano y pequeño logrando un desempeño adecuado. Otra ventaja de un modelo de orden bajo es que se simplifica el proceso de identificación de parámetros (los coeficientes de los polinomios) limitando el número de parámetros y sus relaciones de dependencia. Para la máquina ruteadora objeto de este trabajo, cuyo tamaño es pequeño con respecto al de sus pares industriales, se ha asumido un modelo lineal de errores angulares y de posicionamiento.

Una vez superadas las tres etapas del modelo geométrico, se avanza al paso de estimación de los parámetros geométricos donde se busca un conjunto de valores que minimicen los errores de posicionamiento en el espacio de trabajo calibrado. Para este trabajo se ha adoptado la metodología propuesta en [11] donde la estimación se logra mediante un modelo matricial que relaciona los errores de posicionamiento, 𝒆=¹𝒆, con un vector de parámetros 𝒑 del modelo a través de una matriz de sensibilidad 𝑈, según se presenta en la ecuación (3):

La estructura de la matriz 𝑈, que mapea el efecto de pequeñas variaciones en los parámetros 𝒑 sobre el error de posicionamiento 𝑒 del centro de la herramienta, se puede consultar en el apéndice de [11]. Para la estimación de los parámetros se conoce un conjunto de mediciones del error de posicionamiento 𝒆̃ que corresponde con un conjunto de coordenadas (𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃), entonces es posible despejar 𝒑 de la ecuación (3).

El conjunto de mediciones suele ser redundante para minimizar el efecto de datos anómalos y para garantizar estadísticamente la calidad de la estimación, por ejemplo, en [13] se propone como regla empírica que el número de mediciones sea al menos el doble que la cantidad de parámetros a estimar. Dado el conjunto de mediciones redundantes entonces se recurre a una regresión para la estimación de los parámetros, en este caso se asume una minimización del error cuadrático (pseudoinversa de Moore-Penrose de la matriz 𝑈). El procedimiento de regresión implica que la calidad de la estimación dependerá fuertemente de la invertibilidad del modelo (3), esto es de la independencia lineal entre las mediciones como función de las posiciones (𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃).

Mejorar la invertibilidad se asocia con aumentar la observabilidad de los parámetros como conjunto. Para cadenas cinemáticas, en general, cada parámetro tendrá una observabilidad distinta, e incluso se pueden tener parámetros inobservables. La selección del conjunto de posiciones para medición se basa en el aumento de la observabilidad del conjunto de parámetros, para lo que se asume un algoritmo tipo DETMAX.

Se inicia por una discretización del espacio de trabajo a calibrar y se escoge una base inicial de posiciones aleatorias. La base inicial, de menor tamaño que el requerido para construir la matriz 𝑈, se evoluciona mediante pasos de reemplazo, crecimiento, y reemplazo hasta alcanzar el tamaño adecuado. En cada paso se cambia o adiciona una fila de la matriz de sensibilidad, donde cada fila corresponde con una posición y dirección de medición, entonces se verifica la invertibilidad de la matriz de manera que la fila cambiada o adicionada aumente la condición de la matriz. Al final se tiene una base de posiciones óptimas, y su matriz correspondiente, para la medición de los errores de posicionamiento, entonces es posible estimar el conjunto de parámetros como en la ecuación (4):

Este trabajo tiene como objetivo la calibración de una máquina ruteadora CNC, lo que restringe el área de trabajo a un plano 𝑥 − 𝑦 y simplifica el modelo geométrico. Al mapear el modelo de calibración de tres a dos dimensiones, algunos parámetros de error en las transformaciones de forma y de junta se desprecian, particularmente, los parámetros que afectan la ortogonalidad y la desviación a lo largo del eje 𝑧.

Dado el ajuste del modelo geométrico, el número de parámetros a identificar en una máquina CNC se reduce de 17, en el caso del modelo de error lineal de una máquina de tres ejes, a 12 para el modelo de error lineal de una máquina que opera en un plano (ruteadora). En términos del vector 𝒑 de parámetros se tiene: 𝒑𝟏𝟕×𝟏→𝒑𝟏𝟐×𝟏.

Los 17 parámetros de la máquina de tres ejes serían 𝜌₁₁, 𝜌₂₁, 𝜌₃₁, (Δ𝛼₂−𝑐₁∗𝛾₁₁), (Δ𝛼₃+Δ𝛼₄), (Δ𝛽₂+Δ𝛽₃+𝑏₁∗𝛾₁₁), Δ𝛽₄, Δ𝛾₃, Δ𝛾₄, 𝛼₁₁, 𝛽₁₁, 𝛼₂₁, 𝛽₂₁, 𝛾₂₁, 𝛼₃₁, 𝛽₃₁, 𝛾₃₁. Limitando el modelo a un plano calibrado, entonces el conjunto se reduce a 𝜌₁₁, 𝜌₂₁, (Δ𝛼₂−𝑐₁∗𝛾₁₁), Δ𝛼₄, (Δ𝛽₂+𝑏₁∗𝛾₁₁), Δ𝛽₄, Δ𝛾₄, 𝛼₁₁, 𝛽₁₁, 𝛼₂₁, 𝛽₂₁, 𝛾₂₁. El modelo de error se ajusta según la ecuación (5), que es un módulo para los errores de posicionamiento 𝑒_𝑥1 y 𝑒_𝑥2 correspondiendo con las componentes 𝑥−𝑦 del espacio de trabajo y que desprecia el error en 𝑧. Al apilar un número suficiente de módulos linealmente independientes se tiene una base para la estimación de los parámetros.

Si se asume la recomendación empírica de [13] sobre el doble del mínimo de mediciones, entonces se debe ajustar el modelo para 24 mediciones y los parámetros se estiman con una optimización, por ejemplo, la asumida aquí que minimiza el error cuadrático. Para la medición, y como un aporte de este trabajo, se desarrolló un sistema basado en visión monocular que registra la huella de un maquinado en un patrón geométrico y que permite la estimación de los errores de posicionamiento en el plano del ruteado. El aporte se describe en la sección 3 a continuación.

Para el tercer paso de la calibración cinemática, la compensación de errores, se consideran dos enfoques: (i) desde el hardware, lo implica una modificación de la máquina mediante un microprocesador que almacena el modelo de error e interviene el lazo de control modificando las instrucciones de control de trayectoria de forma que se compensen los errores de posicionamiento, (ii) desde software, modificando el código G del maquinado mediante el modelo geométrico calibrado, lo que determina una nueva trayectoria que al ser ejecutada se aproxima a la del maquinado ideal, según se expone en [12]. El enfoque por software es el asumido para este trabajo.

La Figura 2 presenta la implementación de la estrategia reduciéndola a una posición caracterizada por cuatro puntos: un punto ideal 𝑃_𝑡 que es teórico y corresponde con la ausencia de errores, un punto 𝑃_𝑟 que corresponde con la ejecución de 𝑃_𝑡 y tiene asociado el error de posicionamiento 𝒆_𝑖 antes de compensar, un punto 𝑃_𝑣 que es virtual y que está determinado por la diferencia entre el modelo calibrado y el modelo virtual, y un punto 𝑃_𝑐 que corresponde con la ejecución de 𝑃_𝑣 y tiene asociado el error de posicionamiento 𝒆_𝑐 después de la compensación. Está implementación no requiere de la modificación del modelo geométrico en el controlador de la máquina, sino que compensa a través de una trayectoria virtual tal que ‖𝒆_𝑐‖ < ‖𝒆_𝑖‖.

3. Medición del error de posicionamiento

Para este trabajo se ha asumido la calibración de una máquina ruteadora CNC. La máquina está diseñada para realizar operaciones limitadas a un plano de trabajo, o en todo caso con una movilidad limitada del eje 𝑧.

Particularmente, la configuración y características constructivas de la máquina implican que las operaciones de manufactura requieren una tolerancia gruesa para dimensiones lineales, correspondiendo con la norma ISO 2768-c, lo que está acorde con manufactura de ornamentos, mobiliario, o incluso operaciones de desbaste durante la manufactura de artesanías, que permiten tolerancias de fracciones de milímetro.

Asumiendo el maquinado en un plano entonces es posible diseñar un sistema de medición de posicionamiento bidimensional. Teniendo en cuenta las características descritas para la manufactura y asumiendo como usuarios talleres poco tecnificados, o incluso la tendencia moderna del auto equipamiento (DIY), se ha diseñado un sistema de medición de errores de posicionamiento basado en visión monocular y en la fotogrametría de un registro plano de huellas de maquinado. Se estima que el procedimiento podría extenderse, en un contexto similar al descrito antes, a máquinas herramientas actualizadas en electrónica y control, por ejemplo, [14], e incluso a otros dispositivos con posicionamiento contenido en un plano, por ejemplo, [15].

Entre los atributos de la visión monocular para el registro de las huellas se cuentan (i) oportunidad, pues las cámaras digitales son equipos de uso común, en continua mejora, y cada vez más asequibles, (ii) los modelos de cámara están disponibles en la literatura, y (iii) hay herramientas libres para calibración de cámara y procesamiento digital de imágenes bien establecidos.

El uso de un único sensor óptico implica la proyección tridimensional a bidimensional (del escenario registrado al plano de la imagen), mapeo que se modela de acuerdo con el dispositivo óptico utilizado y que se conoce formalmente como modelo de cámara. Para el presente trabajo el modelo de cámara asumido es el de Tsai [16], que contempla dos categorías de parámetros: (i) los intrínsecos que registran aspectos constructivos de la cámara (punto focal, forma del lente), y (ii) los extrínsecos que registran la relación de la cámara con el escenario (posición y orientación).

Estos parámetros, así como los errores geométricos de la máquina CNC, también son objeto de identificación, lo que está más allá del objetivo de este trabajo y puede consultarse por ejemplo en [17].

El procedimiento de calibración de cámara está basado en el registro de un patrón geométrico, típicamente un tablero de damas (damero) como el de la Figura 3, que facilita el mapeo entre las coordenadas conocidas en el patrón y las coordenadas en el plano proyectado de la imagen.

Para dispositivos digitales las coordenadas en el plano de la imagen corresponderán con posiciones discretas en el sensor óptico, esto es pixeles. Así como el registro de los errores de posicionamiento permite determinar los parámetros del modelo de error a través de una matriz de sensibilidad, el registro del patrón de calibración desde varias perspectivas permite estimar los parámetros del modelo de cámara, siendo un procedimiento disponible en la literatura y con herramientas libres, por ejemplo, ladesarrollada en [17].

Dado el patrón de calibración del sensor óptico, resulta inmediata una discretización para el registro de huellas de maquinado: una malla cuadrada de 36 puntos, como en la Figura 4, donde cada punto está centrado en uno de los cuadrados. Cada punto se máquina con una broca de diámetro pequeño, por ejemplo 1 mm. Completado el mecanizado de la malla se mejora el contraste de la huella usando un patrón geométrico inverso (cambio entre los colores blanco y negro) debajo del damero original.

Tanto la calibración de la cámara como la de la máquinaestarán limitadas al área del patrón, lo que podría superarse aumentando el tamaño del damero o con calibraciones locales que puedan interpolarse.

Para la calibración de la cámara y para el tratamiento digital de las imágenes de las huellas de maquinado se usó la herramienta libre de visión artificial incluida en [17]. Una vez disponible el patrón-huella de mecanizado se avanza al procesamiento digital de imágenes para fotogrametría.

El procedimiento implementado se resume en los siguientes pasos:

• Registro del patrón huella. Se dispone un montaje con trípodes y niveles que promueva el paralelismo entre el plano de la cámara y el patrón huella. La cámara se configura en “blanco y negro” y en la máxima resolución. Se toma la primera fotografía, que se procesará y reservará para la fotogrametría.

• Se gira, sucesivamente, el patrón, registrando un mínimo de 20 fotografías que serán la base para la calibración de la cámara. Se facilita montando el patrón en un trípode con rotula.

• Se calibra la cámara usando el conjunto de imágenes.

• Se corrigen las imágenes según los parámetros identificados para el lente.

• Se ajusta la imagen de referencia según la orientación relativa cámara-patrón estimada durante la calibración de cámara.

Para la imagen de referencia:

• Conversión escala de grises.

• Transformación a imagen binaria (blanco y negro) usando un filtro por umbral de intensidad luminosa (valores de 0 - 255).

• Filtrado de ruido por identificación de zonas homogéneas (eliminación de pixeles anómalos).

• Identificación de patrones geométricos en las imágenes, particularmente se asocian las huellas de maquinado a elipses.

• Determinación de las coordenadas del centroide de las huellas.

• Calibración de cámara para establecer la función que mapea la posición de un pixel en el sensor óptico a una posición en el plano de mecanizado.

Este procedimiento, en coordenadas del sensor óptico, se ilustra en la Figura 5. Al final del procedimiento se obtienen las coordenadas del centro de la herramienta en el plano del mecanizado y el error de posicionamiento con respecto a las coordenadas ideales de un mecanizado sin errores geométricos. Un estudio experimental de la incertidumbre de la fotogrametría se presenta en la sección 6 (apéndice).

4. Resultados

4.1. Medición del error

El error de posicionamiento de la herramienta de la máquina ruteadora CNC medido sobre la malla deposiciones de la Figura 4 presenta una media de−0,5 mm para el eje 𝑥 con una dispersión de±0,422 mm , mientras que para el eje 𝑦 la media es 1,39 mm con una dispersión de ±0,526 mm, como se presenta en la Figura 8. Para identificar la tendencia global de la exactitud de la máquina sin calibrarse calcula la norma del error de posicionamiento

La magnitud del error de posicionamiento aumenta, en las dos direcciones del plano de la ruteadora, cuando la herramienta se aleja del origen (cero de la máquina), según se registra en la Figura 6 y en la Figura 7. Esto lo explican las componentes acumulativas del modelo geométrico.

4.2. Modelo geométrico

El registro de los errores de posicionamiento en cada punto y dirección de la malla de posiciones representa un universo discretizado para la calibración cinemática. Usando la expresión (5) como módulo constructivo del modelo geométrico se obtiene un sistema de 108 ecuaciones posibles para la estimación de los 12 parámetros.

Teniendo en cuenta la recomendación empírica de al menos el doble del mínimo de mediciones, y la construcción de un subespacio óptimo del universo discretizado de mediciones mediante el algoritmo DETMAX, se diseñan dos calibraciones: (i) usando un subespacio mínimo, de 12 registros, y denotado B_12×12, y (ii) usando un subespacio de registros que contenga al menos 36 mediciones en las direcciones 𝑥 y 𝑦 y denotado B_72×12.

En ambas estrategias de calibración se requieren registros con error nulo en la dirección 𝑧 para garantizar la estabilidad numérica del sistema. Se asumió 𝑧 = 1. Implementando el algoritmo DETMAX, con los módulos constructivos de la expresión (5), y estimando los parámetros mediante la pseudoinversa de Moore-Penrose se llega a la ecuación (6). Los valores estimados de los parámetros del modelo geométrico se pueden consultar en la Tabla 1, tanto para el subespacio mínimo B_12×12 como para el subespacio B_72×12.

La ecuación (6) representa una regresión lineal en la que se ajustan los 12 parámetros del modelo de manera que la diferencia entre la posición alcanzada y la posición requerida para la herramienta sea mínima. Los parámetros, que representan errores geométricos en las transformaciones de forma y de junta, se han descrito en el modelo geométrico, sección 2.

Al componer los parámetros estimados en el modelo geométrico ¹𝒆 de la ecuación (3) se obtiene la siguiente ecuación para la estimación de los errores de posicionamiento en el espacio de trabajo:

donde 𝑋₁, 𝑋₂, 𝑋₃ son las coordenadas del punto en la dirección 𝑥, 𝑦 y 𝑧 respectivamente. Los términos de segundo orden aparecen por la composición de los errores geométricos de primer orden sobre los desplazamientos lineales en las juntas activas. Los valores de las constantes 𝐴, 𝐵, 𝐶, … , 𝐼 compuestos para la ecuación (7) se presentan en la Tabla 2.

4.3. Compensación del error

Dado que para este trabajo se ha medido la posición del centro de la herramienta a partir de las huellas de un mecanizado, entonces la compensación se enfoca exclusivamente en posicionar el centro. Otras compensaciones como diámetro y longitud de la herramienta no se tienen en cuenta, pero pueden incorporarse posteriormente al modelo, por ejemplo, usando un método como en [12]. La compensación del error se obtiene como una posición 𝑋_𝐶 que es la diferencia entre la posición nominal 𝑋_𝑡 y el error 𝒆(𝑋_𝑡 ) estimado a partir del modelo geométrico de la ecuación (7), entonces 𝑋_𝑐 = 𝑋_𝑡 − 𝒆(𝑋_𝑡 ).

Al maquinar el punto compensado 𝑋_𝑐 se tendrá un error de posicionamiento menor que el error al maquinar el punto 𝑋_𝑡, como se presenta en la Figura 2. Como verificación experimental el procedimiento de compensación se implementó para los 36 puntos del patrón-huella de mecanizado y se midió el error de posicionamiento, según se registra en las Figuras 6, 7 y 9.

Los resultados se describen a continuación para las direcciones 𝑥 y 𝑦 del plano de ruteado:

En el eje 𝒙

• Para el subespacio de registros B_12×12 la media del error de posicionamiento mejora un 24,7% con respecto al error inicial al pasar de −0,5 mm a −0,377 mm y la dispersión del error disminuye en un 56,7% con respecto a la máquina sin calibrar pasando de una dispersión de os datos de ±0,422 mm a ±0,182 mm, como se presenta en la Figura 9.

• Para subespacio de registros B_72×12 la media del error de posicionamiento no tiene una mejora evidente, sin embargo, la dispersión del error es 54,4% menor con respecto a la máquina no calibrada, según se registra en la Figura 9.

En el eje 𝒚

• Para los dos subespacios de registros usados para la calibración la media del error de posicionamiento mejora significativamente con respecto a la máquina sin calibrar. Para el subespacio B_12×12, comparado con la máquina sin calibrar, pasa de un error promedio de 1,39 mm a −0,066 mm que representa un 95% de mejora, mientras que para el subespacio B_72×12 se llega un error de posicionamiento promedio de −0,174 mm que representa un 87,5% de mejora.

• La dispersión de los errores de posicionamiento se redujo en ambas calibraciones, en un 39,7% y un 68,9% para los subespacios B_12×12 y B_72×12 respectivamente. Los resultados se registran en la Figura 9.

5. Conclusiones

El sistema de medición mediante visión monocular usando patrón geométrico puede considerarse una alternativa viable y económica ante la necesidad de obtener coordenadas en un plano, presentándose como un instrumento de medición con una incertidumbre global dentro de los parámetros admisibles para la calibración de máquinas dedicadas a la manufactura de ornamentos, mobiliario, o en general usadas para operaciones de desbaste, limitadas a un espacio de trabajo plano en un contexto artesanal. El contexto de trabajo resulta equiparable con lo requerido por la noma ISO 2768-c.

Durante este trabajo se realizó la calibración de una máquina herramienta ruteadora CNC donde la medición de los errores de precisión se implementó mediante visión monocular y el registro de un patrón de doble propósito: la calibración del instrumento de medición y la medición de la posición del centro de la herramienta a través de huellas de maquinado. Para ambos ejes en el plano del espacio de trabajo se redujo la dispersión de los errores de precisión con respecto a la máquina sin calibrar. También se mejoró la exactitud al disminuir el error de posicionamiento medio. Los resultados se registran en la Figura 9.

Los resultados globales de la calibración, evaluados a través de la norma del error de posicionamiento medido en los 36 puntos del patrón-huella de maquinado, se registran en la Figura 10 y se resumen a continuación: Se disminuyeron tanto el promedio como la dispersión del error de posicionamiento del centro de la herramienta en las dos calibraciones B_12×12 y B_72×12. Por ejemplo, el resultado para la calibración con el espacio óptimo de registros B_12×12 tiene una mejora en la exactitud del 67,85% con respecto al error de la máquina sin calibrar, al pasar de 1,5378 mm a 0,4951 mm. Asi mismo, la precisión mejoró en un 65,8% con respecto a la dispersión del error de posicionamiento de la maquinado sin calibrar, al pasar de ±0,5288 mm a ±0,1806 mm. Los resultados están registrados en la Tabla 3.

Cualitativamente se destacan los siguientes aspectos del método de calibración propuesto en este trabajo:

• Facilidad. Se destaca el desarrollo del patrón-huella de maquinado que permite tanto la calibración del sensor óptico como la estimación de los errores de posicionamiento a partir de un único registro de imágenes. Para la compensación de la máquina se recurre a la modificación de las trayectorias por software, lo que se facilita al lograr el registro de la posición del centro de la herramienta a partir de la visión monocular.

• Bajo costo: No se requiere de inversiones significativas para adquirir instrumentación de medición y equipos para calibración de la máquina herramienta, ya que actualmente se encuentra una gran variedad de sensores ópticos con buena calidad y amplia discretización (megapíxeles) que se requiere para obtener las imágenes que serán analizadas.

Referencias

Información adicional

Como citar: N. Grisales, S. Durango, C. Álvarez, R. Flórez, “Calibración cinemática de una ruteadora CNC usando un modelo cuasi-estático de error y fotogrametría monocular” Rev. UIS Ing., vol. 19, no. 3, pp. 15-30, 2020. doi: https://doi.org/10.18273/revuin.v19n3-2020002

Revista UIS Ingenierías
ISSN: 1657-4583
Vol. 19
Num. 3
Año. 2020

Calibración cinemática de una ruteadora CNC usando un modelo cuasi-estático de error y fotogrametría monocular

NorbeySebastiánCésar AugustoRubén Darío Grisales-Grisales1Durango-IdárragaÁlvarez- VargasFlórez-Hurtado
Universidad Tecnológica de PereiraUniversidad Autónoma de ManizalesUniversidad Autónoma de ManizalesUniversidad Autónoma de Manizales,ColombiaColombiaColombiaColombia