Modelamiento estocástico de la evolución de la trasmisión de virus altamente contagiosos en lugares concurridos

1. Introducción

Las estadísticas reportadas por diversos países muestran que el desarrollo de las epidemias es análogo a una avalancha, el aumento del número de casos es más lento al principio para luego acelerarse durante un periodo hasta alcanzar un pico. La estabilización del brote se asocia con el concepto de "plato" (la proporcionalidad del número de nuevos portadores del virus con los recuperados en una unidad de tiempo), después de lo cual se esperan mejoras notables en los indicadores y la recesión de pandemia [1,2,3].

El aumento en el número de portadores del virus está determinado por una inmensa cantidad de factores que a menudo son difíciles de medir, son de naturaleza no determinística y, en conjunto, simplemente no pueden explicarse científicamente de forma plena.

Factores como el hecho de que una pandemia aparece de repente, la tasa de cambio de las eventualidades, el largo tiempo que se necesita para el desarrollo de medidas y de herramientas confiables de protección antivirus (por ejemplo, obtener una vacuna o un tratamiento avalado científicamente), conducen a problemas asociados con el poco tiempo disponible para tomar decisiones. Adicionalmente, la selección y adopción de decisiones disuasorias es extremadamente difícil, de hecho, en diferentes países y regiones a menudo son opuestas (por ejemplo, buscar la “inmunidad de rebaño” en unas sociedades contrastado con cuarentena total en otras), y su efectividad se evalúa solo después de un tiempo considerable. Adicionalmente, los numerosos datos estadísticos difundidos en medios de comunicación globales [4, 5] son difíciles de proyectar para situaciones específicas de menor escala, que surgen constantemente a niveles de regiones, ciudades o individuos.

Debido a las diferencias a menudo dramáticas, contrarrestar la epidemia en el terreno es particularmente complicado por la falta de experiencia, la no disponibilidad del suficiente personal médico calificado y/o de capacidades financieras. Por otro lado, las situaciones a menor escala son más fáciles de modelar. Aunque, incluso en tales casos, los tamaños esperados de las matrices de datos son significativos debido a las decenas o cientos de miles de individuos involucrados.

Ahora, uno de los parámetros más importantes para el peligro de contagio es la distancia de contacto, que en la práctica es el más difícil de seguir. En el documento normativo [6], una distancia segura entre los ciudadanos en lugares públicos y en el transporte se define como 1 metro (en algunos lugares, un robot de cuadrúpedo informa a los visitantes de los parques si están cumpliendo con esta medida, Straits Times, Singapur. 10/05/2020. En Colombia la subdirectora de Enfermedades del Ministerio de Salud y Protección Social, Claudia Milena Cuellar Segura, afirma que distanciamiento físico “es evitar el contacto frente a frente con otras personas, conservando una distancia de al menos 1 metro, aunque lo ideal son 2”. 08/04/2020). Según la mayoría de las estimaciones, 1,5-2 m se considera una distancia segura para el transporte aéreo, pero esto aplica a personas casi inmóviles. L. Buruiba (Instituto Tecnológico de Massachusetts), basado en muchos años de investigación sobre la dinámica de la espiración, descubrió que, al toser y estornudar, una nube espiratoria gaseosa alcanza los 8 metros y una velocidad de las gotas de hasta 30 m/s, base sobre la cual recomienda una revisión de los estándares de la OMS.

En este sentido, se sabe que con movimientos intensivos de individuos (por ejemplo, en la práctica de deportes), las distancias de seguridad son aún mayores, por ejemplo, B. Bloken [7] mostró que incluso en ausencia de viento en contra, el flujo de gotas con posibles partículas de virus detrás de un corredor a una velocidad de 4 km/h llega hasta 5 m, y a una velocidad de 14,4 km/h alcanza hasta 10 m. Para los ciclistas, los 20 metros se convierten en una zona de riesgo. Por otra parte, P. Pottinger (Facultad de Medicina de la Universidad de Washington) señaló que cuando se transmite el virus por gotículas en el aire, la distancia de transmisión no es el factor más importante, lo es el tamaño de estas.

Frecuentemente los medios comunican que el aumento en el número de nuevos portadores, además de la distancia y el tiempo de contacto está fuertemente influenciado por el número de portadores iniciales (incluso a nivel de unidad) y la densidad de individuos. Por ejemplo, Corea del Sur informa de una persona infectada (sin síntomas) que, al visitar cinco clubes nocturnos durante la noche, causó más de 80 casos de infección (Emisora Eco de Moscú. 05/11/20). Desde el punto de vista epidemiológico, el número de personas que pueden infectarse por un portador de virus se caracteriza por un número reproductivo (𝑅₀). En el caso del coronavirus de Wuhan se estima 𝑅₀ = 3,3 − 5,5), que es un valor intermedio entre influenza (1–2) y sarampión (12–18).

Los expertos de Southeast University, Tsinghua University y Universidad de Hong Kong examinaron una muestra de brotes de coronavirus considerando la concentración de la población. La mayoría de los casos (79,9%) fueron en hogares (según una de las encuestas) y (34%) en transporte público (según otra encuesta) y solo una persona se infectó al aire libre (según la agencia MedRxiv, Eco de Moscú. 05.13.20). Dicha información no permite un pronóstico cualitativo, pero indica el papel del número de portadores, la concentración y la movilidad de la población y la disponibilidad de equipos de protección en el desarrollo de brotes de infección y debe tenerse en cuenta en la logística de las herramientas y métodos propuestos para la mitigación (o supresión si se decide por esta estrategia).

La mayoría de los modelos, incluyendo los muy básicos, sobre la propagación global del virus se ven obstaculizados por la incertidumbre de los datos críticos. En el modelo SEIR común, la población se divide en grupos: susceptibles (S), infectados (I), infectados en el período de incubación (E), recuperados (R), y se simulan las transiciones entre ellos. Para el coronavirus (SARS- Cov-2), tal separación es problemática porque la enfermedad avanza de manera diferente en los grupos de edad, debido a la gravedad difusa de los síntomas y las ambigüedades con el procesamiento de un gran volumen de pruebas diagnósticas. El resultado es una subestimación de la infección y baja precisión del pronóstico.

Investigadores de varios países se basaron en modificaciones del modelo SEIR [8,9,10], para realizar predicciones durante la pandemia. En [11], utilizando el modelo SEIR, se estudiaron algoritmos para el control óptimo del nivel de financiación de los programas para limitar la transmisión de infecciones en poblaciones humanas. La función objetivo utilizaba coeficientes de peso y como simplificación se supuso que la proporción de vectores infectados en la población, así como el tamaño de la población con infección, son constantes. Las dificultades con la descripción del problema no lineal requirieron de simplificaciones y se transformaron a formas lineales. Se obtuvieron las soluciones que conducen a mejores gestiones, pero no son aplicables como herramienta de trabajo sin la capacitación adecuada.

S. Ilyin [12] considera que la propagación del virus depende de la densidad, los patrones de comportamiento de la población, la fecha de inicio de la pandemia y de las acciones del gobierno. El modelo ofrece una cadena de cálculos simples para varios indicadores en la fecha 𝑡_𝑖: 𝑁𝐷(𝑡_𝑖) es el número de infecciones detectadas; 𝑁𝑇(𝑡_𝑖) es el número total de infectados; 𝑁𝐴(𝑡_𝑖) es el número de infecciones no detectadas. La dinámica del cálculo se basa en las fechas t0, t1, t2, t3: el comienzo de la epidemia, los cambios en el comportamiento de la población, la introducción y el endurecimiento de la cuarentena respectivamente, así como de los factores de transmisión del virus, que dependen de la densidad y el comportamiento de la población en las etapas de la epidemia. Para la metodología como referencia se utiliza el coeficiente de transmisión k0 que es el número promedio de personas que una persona infecta el día anterior a su aislamiento (para k0 < 1, la epidemia decae y viceversa). Para suprimir la propagación del virus, k0 debe ser inferior a 1/6. Al contrastarlo con el desarrollo de la pandemia en China, Italia y Estados Unidos el modelo mostro una buena correlación.

En [13] se describió un modelo basado en datos heurísticos, según el cual el crecimiento de la epidemia, E, sigue una función gaussiana donde: 𝐴₀ es el número inicial de portadores, 𝐴_𝑇 son los casos activos, 𝑃_𝑜 es la tasa de crecimiento inicial, σ es la tasa de cambio en el tiempo de la tasa de crecimiento, T es el tiempo. Y en [14] se presentó un modelo heurístico simple aplicado para el Singapur.

Se asume como simplificación que la epidemia está lejos de saturar a la población, por lo que el crecimiento exponencial es aceptable. Utilizan la entrada de datos en línea, el ajuste y la extrapolación están organizados, sobre los cuales es posible un pronóstico de 10 días.

En [15] utilizaron el modelo SEIR con las características de Francia. Por ejemplo, en el compartimiento R unieron las categorías como limitadamente infecciosos, recuperados y muertos. En la dinámica inicial, se consideran varias ecuaciones diferenciales con un número tradicionalmente considerable de coeficientes condicionales. El modelo incluye una fase de intervención drástica (cuarentena y otras medidas de protección). Los autores señalan una fuerte dependencia de los resultados en la frecuencia de los contactos y de movilidad de los individuos, y los resultados del modelo son más bien teóricos.

Los modelos heurísticos apuntan más a un pronóstico global, conceptualmente son bastante complejos, requieren procedimientos matemáticos complejos, no responden a la escala de situaciones o al tamaño del espacio. El problema sigue siendo la subestimación de los infectados, además, no se tiene en cuenta el factor de aleatoriedad, aunque está claro que, para la dinámica asociada con situaciones de masas, se vuelve decisivo.

En el presente artículo se propone un modelo heurístico programado en MATLAB para la estimación estocástica del creciente número de portadores de virus según los parámetros que caracterizan directa y localmente los sitios donde hay alta concentración de la población. El modelo está abierto a complementos y mejoras y puede ser de interés en la práctica médica y en la toma de decisiones de gestión.

2. Metodología

En primer lugar, se considera una violación de la distancia segura R entre un portador y un individuo como una posible transmisión del virus, luego, en condiciones estáticas, el área con un radio R determinará la zona afectada por un solo portador. En condiciones dinámicas hay movimientos mutuos de portadores e individuos sanos, cuya longitud, actividad y duración son impredecibles.

Cuando se superponen las zonas de daño y seguridad resultantes con nuevas coordenadas, se debe considerar una nueva distancia segura R1, con R1≫R. El aumento total en las áreas afectadas conduce a un aumento en el número de los infectados, que a su vez forman nuevas áreas afectadas.

Si se asume la naturaleza caótica y continua de los movimientos, entonces a partir de una serie de imágenes fijas de grupos de individuos y portadores con coordenadas aleatorias, se puede estimar el aumento en el número de portadores del virus.

El modelo contiene una lista de parámetros directos que caracterizan el lugar de una mayor concentración de individuos, según la cual se estima el criterio: el posible número de portadores de virus. Los parámetros básicos del modelo incluyen el tamaño del área de observación, el número de individuos presentes simultáneamente y el número inicial de portadores de virus (todos durante un cierto período).

Se consideraron dos esquemas de transmisión de virus: por gotículas en el aire y a través de superficies de contacto, que difieren en distancias de seguridad. Debe considerarse que un portador de virus puede contagiar a otros aun cuando se encuentren en un radio bastante mayor a la distancia segura para contagio por gotículas o aerosoles, simplemente porque pudo dejar contaminada una superficie durante su desplazamiento.

La lista de parámetros secundarios que actúan directamente o como parte del complejo de resistencia de los individuos a la infección incluye:

• indicador de inmunidad personal.

• efectividad de los elementos de protección personal (máscaras, guantes, gafas, geles, etc.).

• tiempo de contacto con otras personas.

Los parámetros secundarios varían en intervalos aceptables y son únicos para cada individuo.

La certificación precisa de los parámetros de estabilidad de cada individuo es casi imposible, por lo tanto, para muchos individuos fueron declarados de forma aleatoria. Debido a los rangos iniciales y los cálculos matemáticos involucrados, es posible, en cierta medida, tener en cuenta los detalles de todo el conjunto de individuos. Las coordenadas aleatorias de los diferentes individuos sanos y de los portadores iniciales del virus en la región, determinan la denominada disposición inicial (en general una disposición es el conjunto de coordenadas de todos los individuos en un momento determinado y se toma como partida para generar otra disposición).

La condición para la transmisión del virus en condiciones estáticas del conjunto inicial de parámetros de entrada del modelo es la aparición accidental de un individuo en las áreas afectadas por los portadores del virus, así como un nivel insuficiente en sus parámetros de protección personal. La estática del modelo, en cierta medida, se compensa con la consideración del ciclo de disposición.

Las disposiciones cambian una serie de parámetros claves, en particular, el número inicial de contagiados debido a la aparición de nuevos portadores de virus, su matriz de coordenadas y también la matriz de coordenadas de los individuos. Así, una serie de disposiciones debe modelar los movimientos esperados, también aleatorios, de individuos y portadores del virus.

Las disposiciones deben revelar el crecimiento de los portadores de virus dependiendo del conjunto de parámetros formulados como entrada del modelo. Los parámetros secundarios de los individuos pueden guardarse o guardarse parcialmente.

La frecuencia de cambio de disposiciones debe estar de acuerdo con la intensidad de movimientos de los portadores de virus, y también exceder el tiempo crítico de contacto. El tiempo de contacto se considera como crítico cuando es suficiente para la transmisión estable del virus. Si suponemos que los individuos estarán vinculados a las coordenadas constantes de la región, entonces los resultados de una única (primera) disposición pueden considerarse finales.

La nomenclatura para los parámetros incluidos en el modelo se relaciona en la Tabla 1.

Por ejemplo, con 𝑝𝑟𝑜𝑡() = [0, 10] y min = 8, todos los individuos de 0 a 8 omitirán el virus, pero de 8 a 10 no lo harán.

Teniendo en cuenta la nomenclatura presentada, en la Figura 1 se muestra el diagrama de un algoritmo que permite buscar nuevos portadores de un virus en disposiciones.

Después de inicializar los parámetros de entrada, el algoritmo anuncia un ciclo de disposiciones que registran la ubicación aleatoria de los individuos, incluidos los portadores iniciales del virus. Debido al advenimiento de nuevos, se aumenta el número de portadores iniciales del virus en las disposiciones.

El criterio básico derivado de la densidad de individuos en una región es la matriz r[ ] de distancias de todos los individuos y de todos los portadores. En esta matriz, el número de filas es 𝑎𝑐𝑡, el número de elementos en las filas es variable en el intervalo [1, 𝑛𝑎𝑛𝑜]. En forma indexada (1):

(1)

donde: [𝑖 = 1 … 𝑎𝑐𝑡] son los índices de conjunto de los individuos, [𝑗 = 1 … 𝑛𝑎𝑛𝑜] son los índices de portadores de virus.

Para la trasmisión de virus, se debe ejecutar 𝑟_𝑖,𝑗 ≤ 𝑅1, 𝑅2. El contacto del portador del virus no necesariamente es único, sino que también puede provocar el contagio de varias personas. También en la condición se incluyeron las comparaciones de los parámetros de protección individual con los límites de su efectividad.

El algoritmo contiene dos bloques para comparar combinaciones de coordenadas de individuos con portadores. El cumplimiento de las condiciones se verifica mediante cuatro indicadores (todos usando la lógica ‘AND'). En el primero, se detectan combinaciones de los portadores de virus que caen en las zonas de peligro 𝜋𝑅1², así como con el nivel de protección permisible más bajo 𝑖𝑚, 𝑝𝑟𝑜𝑡, 𝑡𝑘, que corresponde a la trasmisión por goteo.

La aparición de nuevos portadores está fijada por el contador 𝑛𝑒𝑤1. En el segundo, se detectan combinaciones de portadores de virus que caen en las zonas de peligro 𝜋𝑅2², así como con un parámetro permisible más bajo (prot), que corresponde a la transmisión en las superficies de contacto. La aparición de nuevos medios está fijada por el contador new2.

Nuevos portadores new1 + new2 aumentan el número de portadores iniciales de virus 𝑛𝑎𝑛𝑜 en la próxima disposición.

El algoritmo está abierto a un aumento casi ilimitado en la cascada de condiciones de comparación. Naturalmente, también hay un aumento ilimitado en el número de parámetros tomados en cuenta y los intervalos utilizados.

La condición 1 contiene un filtro para el complejo protector, que incluye 𝑖𝑚, 𝑝𝑟𝑜𝑡, 𝑡𝑘. Y la condición 2 es solo 𝑝𝑟𝑜𝑡. El algoritmo permite incluir cualquier otro conjunto de elementos de seguridad. Una evaluación más adecuada del número de elementos ingresados, los intervalos de sus valores, el diseño de los conjuntos y, lo más importante, el establecimiento de los umbrales de eficiencia (para valorar el nivel de protección otorgado), está abierta para que sea hecha por especialistas en epidemiologia, virología, enfermería, entre otras disciplinas.

El cumplimiento de la condición de contagio para una pareja individuo-portador significa que, en primer lugar, el individuo y el portador se han acercado tanto que han violado la distancia segura y, en segundo lugar, el individuo tiene una protección (inmunidad, efectividad del equipo de protección, tiempo de contacto) que es insuficiente. En este caso la transmisión del virus se considera completada. Es decir, las personas con una protección inferior a la mínima requerida se infectan y que el cumplimiento del valor mínimo requerido de protección hace que los individuos sanos no se contagien incluso si caen en la zona de peligro alrededor del portador del virus.

Cuando aparece un nuevo(s) portador(es) del virus, se determinan sus coordenadas en esta disposición. Así, a la siguiente disposición llega el nuevo aumentado número de portadores de virus. El resultado de pasar todas las disposiciones, además de cuantificar el aumento en el número de portadores de virus, se puede mostrar de forma gráfica para mejor visualización.

La presencia de contacto ≤ 𝑅1, 𝑅2 aun no significa una infección. Es de naturaleza probabilística dependiendo de la edad, inmunidad personal, duración del contacto, disponibilidad o efectividad del equipo de protección. Todo esto puede ser tenido en cuenta por una serie de parámetros personales del individuo. Es cierto que tal "pasaporte" de individuos es bastante complicado y obliga a recurrir a estimaciones aleatorias.

Así, se cuenta con la posibilidad de una evaluación rápida y una adecuada visualización de los resultados dependiendo de los conjuntos de parámetros de entrada del modelo, así como la identificación de varias relaciones de interés para el investigador, todo en la etapa de planificación de tales eventos.

3. Experimentos y resultados

3.1. Experimentos numéricos

En los experimentos numéricos los parámetros que se usaron son: 𝑑 = [500, 800], 𝑎𝑐𝑡 = 3500, 𝑛𝑎𝑛𝑜 = 50, R1 = [1, 8], R2 = R1 + 1, 𝑑𝑠𝑝 = [1, 10], 𝑖𝑚 =0,1 + 𝑟𝑎𝑛𝑑(0,9), 𝑝𝑟𝑜𝑡 = 4 + 𝑟𝑎𝑛𝑑 (6), 𝑡𝑘 = 3 +𝑟𝑎𝑛𝑑(3), 𝑝𝑟𝑒1 = 1,4, 𝑝𝑟𝑒2 = 7. Las coordenadas de los individuos 𝑠, de los portadores iniciales 𝑠𝑏 y de los nuevos 𝑠𝑒𝑣, 𝑠𝑒𝑘 fueron generadas aleatoriamente.

Dado que hay una selección aleatoria de coordenadas para nano, se utilizó un redondeo, así el número real nano es ligeramente diferente a la inicial. A manera de ilustración y para mostrar el orden de magnitud de la poca fluctuación del modelo, los resultados de diez experimentos se ven en la Tabla 2.

El objetivo inicial de los experimentos es obtener un valor según el criterio del modelo en el campo [R1, dsp], que muestra su dependencia principal del tamaño de las distancias peligrosas alrededor de los portadores de virus y la intensidad de los movimientos de los individuos y de los portadores "puros". Se implementó una serie de ocho disposiciones sin repetición. La suavidad de cambiar y combinar los resultados en disposiciones y series separadas muestra una reproducibilidad suficiente para poder obtener conclusiones confiables.

La Figura 2 muestra una fuerte dependencia no homogénea del criterio con respecto campo del parámetro [R1, dsp]. A distancias de 2-3 m, el número inicial de portadores sigue siendo decisivo. Con 4 o más metros en combinación con los movimientos de las personas, el número de portadores ya está creciendo proporcionalmente al valor inicial. Cuando la distancia de la infección es más de 6 m, junto con los movimientos intensivos (según la existencia de tal área), se produce un aumento explosivo (exponencial) en el número de portadores.

La suavidad del crecimiento del criterio muestra la continuidad de las disposiciones, su independencia de las coordenadas aleatorias de individuos y portadores (movimientos impredecibles) y, en general, la estructura aceptable del algoritmo.

La distancia de seguridad y el tiempo se presentan entre los parámetros principales, lo cual es lógico y consistente con la realidad.

Las disposiciones realmente simulan la duración e intensidad de los movimientos locales de los individuos. Si estos indicadores son mínimos, mientras se mantiene la distancia de seguridad dentro de 1,5-2 m, prácticamente no hay crecimiento en los nuevos portadores, y el número futuro de ellos permanece en el nivel inicial (incluso si este último es significativo).

La distancia de 3-4 m se vuelve peligrosa al mismo tiempo comenzando con movimientos medianos y más intensos de las personas. Las distancias superiores a 4 m además de desplazamientos promedio y superiores corresponden a un crecimiento proporcional al número inicial de casos.

En relación con los valores máximos de las distancias de seguridad y los tamaños de los movimientos, el crecimiento de los contagiados se vuelve explosivo y, en tal situación, apenas es controlable. La tendencia del crecimiento exponencial de la pandemia se observa en [13, 15].

La Figura 3 (a, b, c, d) muestra una serie de mapas de transmisión de virus concentradas a lo largo de la diagonal (distancias - disposiciones). Los parámetros de entrada restantes son los mismos. Las coordenadas de los individuos se muestran en azul, las coordenadas de los portadores iniciales también en azul y los nuevos individuos infectados en rojo.

En el mapa a), los valores de distancia 𝑅1 = 3, 𝑅2 = 4 son casi aceptables y el número de disposiciones 𝑑𝑠𝑝 = 3 aún no es grande. La transmisión del virus se registra como casos aislados, lo que aumentó ligeramente el número total de portadores.

En el mapa b) hay un notable aumento en el número de portadores, ya que las distancias 𝑅1 = 5, 𝑅2 = 6 excedieron la permitida, el número de disposiciones alcanzó un numero intermedio y la cantidad de nuevos portadores “apenas” superó los 40. En el mapa c), las distancias y las disposiciones alcanzaron valores críticos, lo que resultó en cientos de nuevos contagios.

La Figura 3d debe reconocerse como prohibitiva. Simultáneamente caracteriza la actividad extrema y prolongada de las personas. El número de portadores originales y nuevos ya prevalece sobre las personas sin el virus. Tales situaciones son inaceptables. Deben ir precedidos de decisiones de restricción complejas. Así, el algoritmo propuesto permite simular previamente y evitar el desarrollo de tales eventos.

En todos los mapas, los nuevos contagiados seguramente estarán cerca de los contagiados previos, lo que verifica la lógica del algoritmo para la aproximación a la realidad. En los mapas de disposición, los individuos aparecen en proximidad aleatoria relativa a los portadores de virus existentes. Si la distancia de las personas al portador excede 𝑅1, 𝑅2, entonces no se produce la transmisión del virus. La infección ocurre solo cuando se cumplen condiciones complejas monitoreadas por el algoritmo. Un punto importante es que el mapa también muestra qué portador particular causó la nueva infección.

Es posible que, en la próxima disposición alguna concentración local de individuos sea particularmente alta. Si al mismo tiempo el portador está cerca, entonces es posible una infección grupal. En la Figura 4a se encuentra un ejemplo de infección de dos individuos a la vez (coordenadas [218, 743], [215, 742]) por un portador con coordenadas [218, 742], que terminó en un gran grupo de individuos. La primera infección se produjo por gotitas en el aire, la segunda, por el contacto con una superficie. Además, se registró una infección más de un solo contacto debido a una proximidad inmediata del portador. Otros dos portadores parecían estar a una distancia lejana de los individuos y no se produjo infección. Los dos restantes, a primera vista, se ubicaron cerca de los portadores, pero no hubo transmisión del virus, probablemente debido a la inmunidad suficiente o uso de los elementos de bioseguridad, protección personal o protectores disponibles.

La transmisión múltiple del virus es posible en el grupo más pequeño. En la Figura 4b, el portador del virus estaba en contacto directo con solo dos individuos y ambos fueron infectados. El contacto de este grupo se produjo a una distancia considerable del resto. Este suceso confirma la lógica y desempeño de los procedimientos incluidos en el algoritmo.

También se confirmó el rendimiento y la sensibilidad del modelo a las variaciones en los parámetros de protección de las personas (elementos de protección personal, inmunidad y los otros mencionados). Con las entradas fijas se verificó la dependencia del criterio de cambio solamente en parámetros de protección en el intervalo 𝑖𝑚 ∗ 𝑝𝑟𝑜𝑡/𝑡𝑘 = [0,5, 3] (Figura 5). La dependencia es incondicional y es consistente con la lógica del modelo.

El valor aceptado de 𝑝𝑟𝑒1 = 1,4 significa que la protección para todos los individuos con valores previos será insuficiente y conducirá a la infección. Complementariamente se puede mostrar la sensibilidad del modelo al parámetro 𝑖𝑚(). En un trabajo futuro se puede darle un significado más profundo, de acuerdo con los logros modernos (y acelerados por la pandemia) de las ciencias médicas.

El segundo nivel de comparación (Figura 1) contiene la prueba 𝑝𝑟𝑜𝑡() ≤ 𝑝𝑟𝑒2. La sensibilidad del modelo a 𝑝𝑟𝑜𝑡() se verificó en el intervalo 𝑝𝑟𝑒2 = [5–10] (Figura 6) y es bastante alta.

Todos los parámetros de protección que se tienen en cuenta en el algoritmo afectan el criterio junto con otros como 𝑎𝑐𝑡, 𝑛𝑎𝑛𝑜, 𝑅1, 𝑅2. La lista de parámetros de protección se puede ampliar, detallar o mejorar mediante fórmulas de cálculo. El modelo le permite al decisor quitar la protección de una parte o de todos los individuos, lo que se refleja inmediatamente el crecimiento de los infectados.

3.2. Discusión de resultados

La Tabla 3 muestra una serie de experimentos numéricos con diferentes conjuntos de parámetros de entrada del modelo. Se determina el número esperado de portadores de virus y sus características por tipo de infección. Según cada disposición, se crearon los mapas del posicionamiento del número de infectados. Al analizar las entradas y los resultados de los experimentos numéricos, se pueden hacer ajustes a cualquiera de las situaciones para obtener cantidades de infección más tolerables.

El número total de portadores de virus al final de la evaluación (última disposición) está determinada solo por la combinación de todos los parámetros del modelo en consideración (hacer seguimiento de estas combinaciones es complicado), sin embargo, a nivel de tendencias, algunas explicaciones de los resultados pueden resultar obvias.

Considerando el caso del experimento en que resultaron 1400 portadores, se tuvo desde principio un número significativo de portadores iniciales y una alta intensidad de sus movimientos. Además, la densidad de individuos era bastante moderada. La mayoría de las infecciones ocurrieron por gotículas suspendidas en el aire.

En el experimento 2, la densidad inicial de los individuos fue aumentada. Sin embargo, la observancia de la distancia permitida y la baja intensidad de los movimientos limitaron el crecimiento en el número de infectados por un factor de 1,5.

En el experimento 3, el número inicial de portadores fue pequeño, los movimientos globales de los individuos también fueron mínimos (𝑑𝑠𝑝), pero los movimientos particulares (𝑅1) ya fueron significativos. Como resultado se obtuvo el número de portadores 3 veces más grande.

El experimento 4 condujo a un aumento de 4 veces en el número de portadores, principalmente debido a los valores altos tanto de actividad local (𝑅1), como de global (𝑑𝑠𝑝) de los individuos. La protección de los afectados no fue suficiente para defender de los ataques aéreos (estornudos, aerosoles y partículas en el aire) de los portadores.

Los resultados del experimento 5 son interesantes, dado que la infección no ocurrió. Las razones de este resultado tan ideal son bastante comprensibles para el modelo y se explican por la presencia estática de una pequeña distancia de daño 𝑅1 en los portadores iniciales y en prácticamente la ausencia de desplazamientos 𝑑𝑠𝑝. Así que las recomendaciones obvias para los lugares de congestión masiva (restaurantes, cines, etc.) se siguen a partir de aquí: estricto cumplimiento de las distancias de seguridad más minimización de los movimientos mutuos.

El equipo de protección personal también fortalece la garantía de no proliferación del virus.

Es difícil comentar las estimaciones cuantitativas de las diferentes formas de transmisión del virus en los experimentos, porque el modelo establece parámetros de protección (pre1, pre2), pero los valores específicos para las personas se asignaron aleatoriamente.

En el último experimento, el radio de infección en los portadores iniciales ya era notable, y la dinámica de los movimientos de los individuos simplemente estaba más allá de lo que se pudiera considerarse seguro. El número resultante de 112 personas afectadas puede ser mucho peor, teniendo en cuenta que el número fijado de portadores iniciales fue relativamente pequeño.

Es difícil comentar las estimaciones cuantitativas de diferentes mecanismos de transmisión del virus en experimentos, dado que el modelo establece solo filtros de detección 𝑝𝑟𝑒1, 𝑝𝑟𝑒2, pero los parámetros de protección específicos de los individuos son aleatorios.

En este trabajo, se intenta conectar las coordenadas de los individuos, las distancias permitidas de seguridad, la dinámica y el factor de aleatoriedad en un solo sistema. El modelo confirmó la extrema relevancia de mantener distancias seguras y el papel del equipo de protección.

En el modelo pueden ser agregados otras características de las personas, como, por ejemplo, el grupo etario, la presencia de anticuerpos o el estado de los que se han recuperado, el momento de la última prueba, etc. Además, puede considerar la actividad variable del portador del virus como un factor aleatorio e introducirlo en las condiciones de infección. La variedad de formas de transmisión del virus puede incrementarse para aproximar más el modelo a la realidad.

Cualquier disposición determina el número y las coordenadas de los nuevos portadores del virus y permanece en el pasado, dando paso a una nueva disposición. En la nueva disposición, las coordenadas de todos los participantes serán nuevas, es decir, no se repiten, y corresponden a los movimientos continuos y aleatorios tanto de individuos sanos como de portadores del virus. Por lo tanto, el algoritmo no brinda recomendaciones sobre coordenadas con posiciones seguras en las disposiciones siguientes o futuras.

El algoritmo proporciona una estimación superior (máxima posible) del desarrollo de la epidemia. En realidad, los resultados pueden ser más bajos debido a la inmunidad personal individual de los individuos y su porcentaje puede incorporarse numéricamente a la metodología.

Hay un parámetro de fondo que es la densidad de individuos en la región. El algoritmo permite usando los parámetros 𝑑, 𝑎𝑐𝑡 introducir cualquier densidad en el modelo y analizar su influencia en los criterios.

La propuesta tiene en cuenta los parámetros más importantes, pero limitados, lo cual es una ventaja para el procesamiento. Aunque fuera del modelo, siguen existiendo un número mucho mayor de otros fenómenos y factores que probablemente requerirán enfoques mucho más complejos, la metodología permite dividir la región en zonas con diferentes probabilidades de violación de distancias seguras y actividad de movimientos (por ejemplo, vestuarios y otros trabajadores en espacios públicos).

El modelo describe la situación en espacios concurridos en la etapa de crecimiento de contagios de la pandemia. En etapa de atenuación de la pandemia, se tendrá una disminución de numero de portadores y posiblemente la expansión de la inmunidad en la sociedad y para que el modelo sea útil en esta etapa, se tendría que nuevos valores de parámetros, nuevas variables y datos.

Es posible que los movimientos caóticos simultáneos en toda la masa de individuos estén lejos de tener lugar siempre y lo más probable es que sean selectivos y desiguales en tamaño. En este caso el modelo predice el peor resultado posible y recomienda soluciones con un "margen de seguridad" inflado, lo cual no es malo, ya que se está hablando de la vida de las personas.

Aunque se ha logrado la compacidad, la simplicidad y la correspondencia con cierta lógica, es imposible discutir la adecuación del modelo y, además, considerar el problema resuelto. Los resultados del pronóstico del modelo podrían ser cerca de los reales si existe una seguridad de entradas reales lo que es complicado de considerar.

El algoritmo debe considerarse como la base para una mejora adicional con la participación obligatoria de especialistas de diferentes campos.

4. Conclusiones

Se propone un modelo heurístico para predecir el crecimiento del número de portadores de virus en un área limitada en espacios cerrados (centros comerciales, reuniones, etc.) con un número fijo de individuos y portadores iniciales.

El algoritmo rastrea la transmisión del virus cuando no se cumplen distancias seguras y normas de bioseguridad. Las disposiciones aleatorias de los individuos en el área simulan la dinámica de los movimientos de los individuos y muestran un aumento suave y exponencial en el número de infectados.

La aplicación del algoritmo permite proponer controles en situaciones complejas y poco predecibles de desarrollo epidémico en grupos de población locales, lo que mejora la calidad de las medidas médicas proactivas y las decisiones administrativas. Los resultados también ratifican la necesidad de cumplir las normas de distanciamiento social y de bioseguridad. No resulta conveniente dejar el cumplimiento de estas al albedrio de los individuos y por lo tanto las autoridades y administradores de los centros comerciales y sitios cerrados similares deben tomar las medidas necesarias para garantizar su cumplimiento.

Referencias

Notas de autor

¹ Investigador independiente, Moscú, Rusia

Información adicional

Como citar: V. Fedosov, A. Fedossova, O. Buitrago- Suescún, “Modelamiento estocástico de la evolución de la trasmisión de virus altamente contagiosos en lugares concurridos,” Rev. UIS Ing., vol. 20, no. 1, pp. 89-102, 2021, doi: 10.18273/revuin.v20n1-2021008

Revista UIS Ingenierías
ISSN: 1657-4583
Vol. 20
Num. 1
Año. 2021

Modelamiento estocástico de la evolución de la trasmisión de virus altamente contagiosos en lugares concurridos

ValeryAlinaOscar FedosovFedossovaBuitrago-Suescún
Práctica privadaUniversidad Nacional de ColombiaUniversidad Militar Nueva Granada,RusiaColombiaColombia