Revista Integración, temas de matemáticas.
Vol. 40 Núm. 1 (2022): Revista Integración, temas de matemáticas
Artículo Original

Sobre residuos de potencias módulo primo

Diego A. Mejía
Shizuoka University, Faculty of Science, Creative Science Course (Mathematics), Shizuoka, Japan.
Yuki Kiriu
Shizuoka Salesio High School

Publicado 2022-03-01

Palabras clave

  • Residuos de potencias módulo primo,
  • residuos cuadráticos,
  • símbolo de Legendre,
  • normas de extensiones de campos,
  • polinomios irreducibles

Cómo citar

Mejía Guzmán, D. A. ., & Kiriu, Y. (2022). Sobre residuos de potencias módulo primo. Revista integración, Temas De matemáticas, 40(1), 1–23. https://doi.org/10.18273/revint.v40n1-2022001

Resumen

Sea q un número primo. Clasificamos los primos impares p ≠ q tal que la ecuación x2 ≡ q (mód p) tiene solución, concretamente, hay un subgrupo L4q del grupo multiplicativo U4q de los enteros primos relativos con 4q (módulo 4q) tal que x2 ≡q (mód p) tiene solución si y solo si p ≡ c (mód 4q) para algún c ∈ L4q. Aún más, L4q es el único subgrupo de U4q con la mitad del orden que contiene a −1.

En conexión con el anillo Z[√2], para cualquier primo impar p se sabe que la ecuación x2 ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si x2 −2y2 = p tiene solución en los enteros. Nos preguntamos si esta situación se puede extender al contexto de Z[ n√2] con n ≥2, a saber: para cualquier primo p ≡1 (mód n), ¿la ecuación xn ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si D2n(x0, . . . , xn−1) = p tiene solución en los enteros? Aquí D2n(x̄) representa la norma de Q( n√2) como extensión del campo Q. Solucionamos algunas versiones débiles de este problema, donde igualdad con p se reemplaza por 0 (mód p) (divisible por p), y la “norma” Drn(x̄) se considera para cualquier r ∈ Z en lugar de 2.

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Referencias

  1. Burton D.M., Elementary Number Theory, McGraw Hill Education (India) Pvt Ltd, 7th Indian ed., New Delhi, 2012.
  2. Hardy G.H. and Wright E.M., An introduction to the theory of numbers, Oxford University Press, 6th ed., Oxford, 2008.
  3. Ireland K. and Rosen M., A classical introduction to modern number theory from series Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 2nd ed., vol. 84, New York, 1990. doi: 10.1007/978-1-4757-2103-4
  4. Lang S., Algebra from series Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 3rd ed., vol. 211, New York, 2002. doi: 10.1007/978-1-4613-0041-0
  5. Nathanson M.B., Elementary Methods in Number Theory from Graduate Texts in Mathematics, Springer-Verlag, 1st ed., vol. 195, New York, 2000. doi: 10.1007/b98870
  6. Pomerance C., “The multiplicative order mod n, on average”, Quebec/Maine number theory conference at Laval University, https://math.dartmouth.edu/∼carlp/ordertalk.pdf, [cited on 18 march, 2021].
  7. Silverman J.H., “Wieferich’s criterion and the abc-conjecture”, J. Number Theory, 30 (1988), No. 2, 226-237. doi: 10.1016/0022-314X(88)90019-4
  8. Takagi T., Elementary Number Theory Lectures, Kyoritsu Shuppan, 2nd ed., Tokyo, 1971.
  9. “What is known about primes of the form x2-2y2?”, MathOverflow. https://mathoverflow.net/questions/197918/what-is-known-about-primes-of-the-form-x2-2y2 [cited on 18 march, 2021].
  10. “What about Z[n√2]?”, Mathematics StackExchange. https://math.stackexchange.com/questions/4057721/what-about-mathbbz-sqrtn2 [cited on 18 march, 2021].