Revista Integración, temas de matemáticas.

Revista Integración, temas de matemáticas

Vol. 40 Núm. 1 (2022): Revista Integración, temas de matemáticas
Artículos científicos

Sobre residuos de potencias módulo primo

PDF (English)
Diego A. Mejía
Shizuoka University, Faculty of Science, Creative Science Course (Mathematics), Shizuoka, Japan.
Yuki Kiriu
Shizuoka Salesio High School
DOI: https://doi.org/10.18273/revint.v40n1-2022001

Publicado 2022-03-01

Palabras clave

  • Residuos de potencias módulo primo,
  • residuos cuadráticos,
  • símbolo de Legendre,
  • normas de extensiones de campos,
  • polinomios irreducibles

Cómo citar

Mejía Guzmán, D. A. ., & Kiriu, Y. (2022). Sobre residuos de potencias módulo primo. Revista Integración, Temas De matemáticas, 40(1), 1–23. https://doi.org/10.18273/revint.v40n1-2022001

Derechos de autor 2022 Revista Integración, temas de matemáticas

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Resumen

Sea q un número primo. Clasificamos los primos impares p ≠ q tal que la ecuación x2 ≡ q (mód p) tiene solución, concretamente, hay un subgrupo L4q del grupo multiplicativo U4q de los enteros primos relativos con 4q (módulo 4q) tal que x2 ≡q (mód p) tiene solución si y solo si p ≡ c (mód 4q) para algún c ∈ L4q. Aún más, L4q es el único subgrupo de U4q con la mitad del orden que contiene a −1.

En conexión con el anillo Z[√2], para cualquier primo impar p se sabe que la ecuación x2 ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si x2 −2y2 = p tiene solución en los enteros. Nos preguntamos si esta situación se puede extender al contexto de Z[ n√2] con n ≥2, a saber: para cualquier primo p ≡1 (mód n), ¿la ecuación xn ≡ 2 (mód p) tiene solución si y solo si D2n(x0, . . . , xn−1) = p tiene solución en los enteros? Aquí D2n(x̄) representa la norma de Q( n√2) como extensión del campo Q. Solucionamos algunas versiones débiles de este problema, donde igualdad con p se reemplaza por 0 (mód p) (divisible por p), y la “norma” Drn(x̄) se considera para cualquier r ∈ Z en lugar de 2.

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Referencias

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