Espacios fuertemente T1

Abstract

Las topologías fuertemente T₁ (o, abreviadamente, F-T₁) fueron intro­ducidas por el autor en [3] donde se demuestra que en un cierto conjunto ordenado son los únicos elementos maximales que no poseen "antecesores cercanos". En este artículo se presentan algunas propiedades (y defec­tos) de esas topologías, que dan respuesta a las preguntas naturales que surgen siempre que un nuevo tipo de espacio topológico es puesto en escena.

Para hablar de lo positivo, se demuestra que todo conjunto infinito ad­mite una de estas topologías; que ser F-T₁ es una propiedad topológica; que el producto de espacios F-T₁ es F-T₁ y que la propiedad de ser F-T₁ es heredada por subespacios abiertos. Se dan condiciones necesarias y suficientes para que un espacio de Hausdorff sea F-T₁ se proporciona un mecanismo que permite construir topologías F-T₁ que no son de Haus­dorff, y se muestra cómo "recuperar" una topología F-T₁ por medio de algunas topologías T₁ que son menos finas que aquella. En cuanto a lo negativo, se encontrará que la imagen continua y abierta de un espacio F-T₁ no siempre es F-T₁ que la propiedad de ser F-T₁ no es hereditaria, que un cociente de un espacio F-T₁ no necesariamente lo es, que la intersección (finita o infinita) de topologías F-T₁ no necesariamente lo es, y que la topología generada por la unión de dos topologías F-T₁ no siempre es F-T₁.

En la parte final del trabajo aparecen una serie de preguntas para las cuales no tenemos respuesta aún, como una invitación al lector para que se motive a enriquecer el estudio de estos nuevos espacios, ya sea dando respuestas a ellas o formulando y tratando de dar solución a sus propias inquietudes. Al fin y al cabo, prácticamente todo está por hacerse.